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Aufgabe B2

Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit einer Gleichung der Form

y=log2(x+b)+1y=\log_2(x+b)+1 (G=R×R;bR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}; b\in \mathbb{R}).

Der Graph zu f1f_1 schneidet die y-Achse im Punkt P(03)P(0|3).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f1f_1 die Gleichung y=log2(x+4)+1y=\log_2(x+4)+1 besitzt.

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[3,5;6]x\in [- 3{,}5;6] in ein Koordinatensystem.

    (3 P)

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 6x6-6\le x\le6; 2y5-2\le y\le5

  2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(23)\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} auf den Graphen der

    Funktion f2f_2 abgebildet.

    Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=log2(x+6)+2y=-\log_2(x+6)+2 mit (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) besitzt.

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[5,5;6]x \in[-5{,}5;6] in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)

  3. Punkte An(xlog2(x+4)+1)A_n(x|\log_2(x+4)+1) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Cn(xlog2(x+6)+2)C_n(x|-\log_2(x+6)+2) auf dem Graphen zu f2f_2. Zusammen mit Punkten BnB_n sind sie für x>3,26x \gt -3{,}26 die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n mit den Hypotenusen [BnCn][B_nC_n]. Es gilt: AnBn=4  LE\overline{A_nB_n}=4\;\text{LE}.

    Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1 für x=1x =- 1 und A2B2C2A_2B_2C_2 für x=5x =5 ein. (2 P)

  4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=[log2(x2+10x+24)1]  LE\overline {A_nC_n}(x)=[\log_2(x^2+10x+24)-1]\;\text{LE}. (2 P)

  5. Das Dreieck A3B3C3A_3B_3C_3 hat den Flächeninhalt 10  FE10\;\text{FE}.

    Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes A3A_3. (3 P)


  6. Der Eckpunkt B4B_4 des Dreiecks A4B4C4A_4B_4C_4 liegt auf dem Graphen zu f2f_2.

    Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punktes B4.B_4. (4 P)