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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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  1. 1

    Gegeben sind die Punkte A(19|0|0), B(0|19|0), E(12|0|7) und F(0|12|7)

    (vgl. Abbildung 1). Das Viereck ABFE liegt in der Ebene L.

    1. Weisen Sie nach, dass das Viereck ABFE ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 P)

    2. Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform sowie die Größe φ des Winkels, den L mit der x1x2-Ebene einschließt. (6 P)

      (zur Kontrolle: x1+x2+x319=0;φ=55°)

    3. Abbildung 1 zeigt den Körper ABCDEFGH, bei dem die quadratische Grundfläche ABCD parallel zur quadratischen Deckfläche EFGH liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der x1x3-Ebene als auch bezüglich der x2x3-Ebene. Außerdem werden die Punkte Sk(0|0|k) mit k]7;+[ betrachtet, die Spitzen von Pyramiden EFGHSk sind.

      Pyramidenstumpf

      Abb. 1

      Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von k, für den die Pyramide EFGHSk den Körper ABCDEFGH zu einer großen Pyramide ABCDSk ergänzt. (2 P)

      (zur Kontrolle: k=19)

    4. Zeichnen Sie die Pyramide EFGHS15 in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche EFS15 und die Grundfläche EFGH dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45° ist; verwenden Sie dazu folgende Information:

      Für den Mittelpunkt M des Quadrats EFGH und den Punkt N mit

      N=12(E+F) gilt MS15<MN. (4 P)

    5. Der Körper ABCDEFGHS15 stellt modellhaft die Knickpyramide des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die x1x2-Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 7m in der Realität.

      Knickpyramide

      Abb. 2

      Ursprünglich wurde mit dem Bau einer Pyramide begonnen, die im Modell der Pyramide ABCDS19 entspricht. Aufgrund von Stabilitätsproblemen im Bauprozess musste die Neigung der Seitenflächen gegenüber dem Boden beim Erreichen einer bestimmten Höhe verändert werden. Der entstandene Knick ist namensgebend für die Pyramide.

      Bestimmen Sie die Höhenänderung des Bauwerks, die durch die Bauplanänderung hervorgerufen wurde, in Metern. Begründen Sie, dass im unteren Teil des Bauwerks der Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber dem Boden um mehr als 9 größer ist als im oberen Teil des Bauwerks. (3 P)

    6. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor S15E dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt T beschrieben. Die Lote durch die Punkte E,F,G,H und S15 auf die x1x2-Ebene schneiden diese in den Punkten E,F,G,H bzw. S. Diese sind zusammen mit der Grundfläche der Pyramide und dem Punkt T in Abbildung 3 dargestellt.

      Grundriss

      Abb. 3

      Berechnen Sie die Koordinaten von T. (3 P)

    7. Der Schattenbereich der gesamten Pyramide auf dem Boden besteht im Modell aus zwei kongruenten Vierecken. Zeichnen Sie diesen Schattenbereich in Abbildung 3 ein und geben Sie die besondere Form der genannten Vierecke an. (4 P)


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