Koordinaten des Tiefpunkts von h(x)

$h(x)=-g(x-3)$

Die Funktion $h(x)$ geht im ersten Schritt durch Spiegelung von $g(x)$ an der x-Achse hervor. Im zweiten Schritt wird dann $-g(x)$ um $3$ nach rechts verschoben.

Der Graph der Funktion $g(x)$ hat einen Hochpunkt $HP(-1|1)$ und einen Tiefpunkt $TP(0|0)$. Bei der Spiegelung an der x-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt (und aus dem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt). Der Graph der gespiegelten Funktion $g(x)$ hat dann den Tiefpunkt $TP(-1|-1)$. Damit die Funktion $h(x)$ entsteht, muss die gespiegelte Funktion noch um $3$ Einheiten nach rechts verschoben werden, sodass der Tiefpunkt der Funktion $h(x)$ entsteht.$\;\Rightarrow\;TP(-1+3|-1)$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten: $TP(2|-1)$

Besondere Punkte des Graphen von $g(x)$

Die Stammfunktion von $g(x)$ ist die Funktion $G(x)$. Es gilt: $G'(x)=g(x)$

Anhand von ein paar besonderen Punkten von $g(x)$ folgen diese Informationen:

• Die Extrempunkte des Graphens der Funktion $g$ sind Wendepunkte des Graphens der Stammfunktion $G$.

• Doppelte Nullstellen des Graphens der Funktion $g$ sind Terrassenstellen des Graphens der Stammfunktion $G$.

Konkret heißt das:

• Der Graph von $G$ hat bei $x=-1$ eine Wendestelle. Die Steigung im Wendepunkt des Graphens von $G$ beträgt $1$, da $g$ an der Stelle $x=-1$ den Funktionswert $1$ hat. Der Funktionswert $1$ ist dann der Wert von $G'(-1)$.

• Der Graph von $G$ hat bei $x=0$ eine Terrassenstelle, da der Graph von $g$ bei $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat. Die Steigung im Terrassenpunkt ist $0$.

Wie findet man nun Funktionswerte der Stammfunktion $G$?

Eine Flächeneinheit in der Abbildung 2 des Graphens $g$ besteht aus $4$ Kästchen, d.h. ein Kästchen hat einen Flächeninhalt von $0{,}25 \;\text{FE}.$

Der türkis eingefärbte Bereich zwischen $x=0$ und $x=1$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $0{,}5$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=0$ und $x=1$ um $0{,}125\;\text{FE}.$

Im gegebenen Punkt $P$ der Abb. 2 gilt: $G(1)=3\;\Rightarrow\;G(0)=3-0{,}125=2{,}875$

Der gelb eingefärbte Bereich zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse ist etwa $1{,}75$ Kästchen groß:

$\Rightarrow\;1{,}75\cdot0{,}25\approx0{,}44\;\text{FE}$

Somit vergrößert sich der Flächeninhalt zwischen $x=-1$ und $x=0$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse um etwa $0{,}44\;\text{FE}.$

Im Punkt $P1$ ist $G(0)=2{,}875\;\Rightarrow\;G(-1)=2{,}875-0{,}44\approx2{,}44$

Zusatz

Entsprechend findet man weitere Punkte des Graphens von $G$, sodass sich nach dem Verbinden der eingezeichneten Punkte der Graph der Stammfunktion $G$ ergibt. (Die Berechnung der Koordinaten der anderen eingezeichneten Punkte wird hier nicht weiter ausgeführt.)

Beim Zeichnen ist noch zu beachten, dass die Steigung im Punkt $P1$ gleich $0$ und im Punkt $P2$ gleich $1$ ist.