In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen von $f$ angegeben, $x_1=0$ und $x_2= 2a$.

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, soll den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ haben. Somit ergibt sich der folgende Ansatz zur Berechnung:

Damit ist gezeigt, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$ hat.

Gesucht sind zunächst die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$.

$f(x)= -x^2+2ax$

Berechne $f'(x)$:

$f'(x)=-2x+2a$

Bei einem Hochpunkt muss $f'(x)=0$ sein:

Für $x=a$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt.

Berechne die y-Koordinate des Hochpunktes, indem $x=a$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird.

$f(a)=a^2$ ist die Höhe des eingezeichneten Quadrates. Das Quadrat hat dann den Flächeninhalt $A_\square=(a^2)^2=a^4$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\dfrac{4}{3}a^3$. Die beiden Flächeninhalte sollen gleich groß sein:

Setze $a^4=\dfrac{4}{3}a^3:$

Du hast die Gleichung $a^3\cdot \left(a-\dfrac{4}{3}\right)=0$ erhalten. Diese Gleichung kann mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

Es ist $a=0$ oder $a=\dfrac{4}{3}.$

Da $a\in ]1;+\infty[$ entfällt die Lösung $a=0$.

Für $a=\dfrac{4}{3}$ stimmt der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achsen einschließt, überein.