Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die Punkte $A(19|0|0)$ , $B(0|19|0)$ , $E(12|0|7)$ und $F(0|12|7)$

(vgl. Abbildung 1). Das Viereck $ABFE$ liegt in der Ebene $L$ .

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABFE$ ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 P)
Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform sowie die Größe $\varphi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt. (6 P)
(zur Kontrolle: $x_1+x_2+x_3-19=0; \varphi=55°)$
Abb. 1
Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEFGH$ , bei dem die quadratische Grundfläche $ABCD$ parallel zur quadratischen Deckfläche $EFGH$ liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der $x_1x_3$ -Ebene als auch bezüglich der $x_2x_3$ -Ebene. Außerdem werden die Punkte $S_k(0|0|k)$ mit $k\in ]7;+\infty[$ betrachtet, die Spitzen von Pyramiden $EFGHS_k$ sind.
Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $k$ , für den die Pyramide $EFGHS_k$ den Körper $ABCDEFGH$ zu einer großen Pyramide $ABCDS_k$ ergänzt. (2 P)
(zur Kontrolle: $k=19$ )
Zeichnen Sie die Pyramide $EFGHS_{15}$ in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche $EFS_{15}$ und die Grundfläche $EFGH$ dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als $45°$ ist; verwenden Sie dazu folgende Information:
Für den Mittelpunkt $M$ des Quadrats $EFGH$ und den Punkt $N$ mit
$\vec N= \dfrac{1}{2}\cdot (\vec E+\vec F)$ gilt $\overline{MS_{15}}<\overline{MN}.$ (4 P)
Abb. 2
Der Körper $ABCDEFGHS_{15}$ stellt modellhaft die Knickpyramide des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die $x_1x_2$ -Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $7\;\text{m}$ in der Realität.
Ursprünglich wurde mit dem Bau einer Pyramide begonnen, die im Modell der Pyramide $ABCDS_{19}$ entspricht. Aufgrund von Stabilitätsproblemen im Bauprozess musste die Neigung der Seitenflächen gegenüber dem Boden beim Erreichen einer bestimmten Höhe verändert werden. Der entstandene Knick ist namensgebend für die Pyramide.
Bestimmen Sie die Höhenänderung des Bauwerks, die durch die Bauplanänderung hervorgerufen wurde, in Metern. Begründen Sie, dass im unteren Teil des Bauwerks der Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber dem Boden um mehr als $9^\circ$ größer ist als im oberen Teil des Bauwerks. (3 P)
Abb. 3
Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow {S_{15}E}$ dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt $T$ beschrieben. Die Lote durch die Punkte $E,F,G,H$ und $S_{15}$ auf die $x_1x_2$ -Ebene schneiden diese in den Punkten $E', F', G', H'$ bzw. $S'.$ Diese sind zusammen mit der Grundfläche der Pyramide und dem Punkt $T$ in Abbildung 3 dargestellt.
Berechnen Sie die Koordinaten von $T$ . (3 P)
Der Schattenbereich der gesamten Pyramide auf dem Boden besteht im Modell aus zwei kongruenten Vierecken. Zeichnen Sie diesen Schattenbereich in Abbildung 3 ein und geben Sie die besondere Form der genannten Vierecke an. (4 P)