Gib das Winkelmaß $\alpha \backslash alpha$ an;

es gilt: $g\mathrm{\parallel }hg\; \backslash Vert\; h$ und $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}\backslash mathrm\{\backslash overline\{AD\}=\backslash overline\{CD\}\}$

Die beiden mit ${30}^{\circ }30^\backslash circ$ gekennzeichneten Winkel sind Wechselwinkel, Wechselwinkel sind gleich groß.

Da in dem Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}\backslash mathrm\{\backslash ;\; ADC\}$, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}\backslash ,\backslash mathrm\{\backslash overline\{AD\}=\backslash overline\{CD\}\}$ ist, ist es ein gleichschenkliges Dreieck, die Winkel $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}\backslash mathrm\{\backslash angle\; ACD\}$ und $\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}\backslash mathrm\{\backslash angle\; DAC\}$ sind Basiswinkel und sind gleich groß.

Die Winkelsumme im Dreieck ist ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

$\alpha \backslash \; \backslash Large\{\backslash alpha\}$$={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }=180^\backslash circ-30^\backslash circ-30^\backslash circ$

$\alpha \backslash \; \backslash Large\{\backslash alpha\}$$={120}^{\circ }=120^\backslash circ$

Gib das Winkelmaß $\beta \backslash mathrm\{\backslash beta\}$ an. (Die Skizze ist nicht maßtreu.)

Es gilt: $\text{BT}\backslash text\{BT\}$ ist Tangente an den Kreis $\text{k(M; r)}\backslash text\{k(M;\; r)\}$ mit dem Berührpunkt $\text{T}\backslash text\{T\}$.

Das Dreieck $\text{TBM}\backslash text\{TBM\}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Winkelsumme im Dreieck ist ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

Der Winkel $\mathrm{T}\mathrm{B}\mathrm{M}={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }\backslash mathrm\{TBM\; =180^\backslash circ-90^\backslash circ-40^\backslash circ=\; 50^\backslash circ\}$.

Der Winkel $\mathit{\beta }\backslash boldsymbol\backslash beta$ und der Winkel $\text{TBM}\backslash text\{TBM\}$ ergeben einen gestreckten Winkel, ein gestreckter Winkel hat eine Größe von $180\mathrm{°}180°$.

Es gilt: $$ $\mathit{\beta }+\mathrm{\angle }\mathrm{T}\mathrm{B}\mathrm{M}={180}^{\circ }\Rightarrow \mathit{\beta }={180}^{\circ }-{50}^{\circ }={130}^{\circ }\backslash mathrm\{\backslash boldsymbol\backslash beta+\backslash angle\backslash ;\backslash \; TBM=180^\backslash circ\; \backslash Rightarrow\; \backslash boldsymbol\backslash beta=180^\backslash circ-50^\backslash circ=130^\backslash circ\}$

Der gesuchte Winkel$\mathit{\beta }\backslash \; \backslash boldsymbol\backslash beta\backslash$hat eine Größe von ${130}^{\circ }130^\backslash circ$