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Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=0,75x+23  (G=R×R)y=0{,}75^{x+2}-3~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

  1. Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion f1f_1 an.

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[9;4]x\in[-9;4] in ein Koordinatensystem.

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 9x5;  4y8-9\le x\le 5;~~-4\le y\le 8

  2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=2k=-2 sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(21)\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

    Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=20,75x+4+7y=-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7 besitzt (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) und zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[9,4]x\in[-9{,}4] in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

  3. Punkte An(x0,75x+23)A_n(x|0{,}75^{x+2}-3) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Cn(x20,75x+4+7)C_n(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx und sind für x>6,61x>-6{,}61 zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Strecken [AnCn][A_nC_n] liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.

    Es gilt: AnBn=(32)\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}

    Zeichnen Sie das Drachenviereck A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=5x=-5 und das Drachenviereck A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=1x=1 in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

  4. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=(2,1250,75x+2+10)\overline{A_nC_n}(x)=(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10) LE.

  5. Unter den Drachenvierecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3.

    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B3B_3 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

  6. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt AA der Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(6,3750,75x+2+30)A(x)=(-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30) FE.

    Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gilt: A<30A<30 FE.