Das Quadrat ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGH mit der Höhe [AE]. Der Schnittpunkt der Diagonalen [EG] und [FH] des Quadrats EFGH ist der Punkt N.
Es gilt AB=7cm;AE=9cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecke [AC] gilt: AC=9,90cm.
Zeichnen Sie sodann das Schrägbild des Prismas ABCDEFGH, wobei die Strecke AC auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Die Strecke [AC] ist eine Diagonale im Quadrat ABCD. Das Quadrat hat die Seitenlänge AB=7cm. Mit dem Satz des Pythagoras gilt dann:
Da eine Seitenlänge nicht negativ sein kann, ist das richtige Ergebnis AC=9,90cm.
Nun musst du noch das Schrägbild des Prismas zeichnen, wie du das machst, kannst du dir im folgenden Applet ansehen. Hilfreich für dich ist es dabei zu wissen, dass die Strecke [BD] dieselbe Länge wie [AC], also 9,90cm, hat.
Um die Seitenlänge CN zu berechnen, kannst du das rechtwinklige DreieckCGN betrachten, in dem [CN] die Hypotenuse ist. Die Seitenlängen der Katheten CG=AE=9cm und NG=0,5⋅AC=4,95cm kennst du bereits. Also kannst du den Satz des Pythagoras verwenden und erhältst:
Die Strecke [CN] ist also 10,27cm lang.
Jetzt sollst du noch das Maß des Winkels ∢CNG berechnen, im Bild oben ist er als α eingezeichnet. Auch er liegt im Dreieck CGN. Von ihm aus gesehen ist [CG] die Gegenkathete und [NG] die Ankathete. Mit dem Tangens gilt:
Wenn du darauf nun die Umkehrfunktion des Tangens anwendest, erhältst du das Ergebnis: α=tan−1(1,8182)=61,19°.
Die Punkte Pn liegen auf der Strecke [CN]. Die Winkel PnEN haben das Maß φ mit φ∈]0;42,27∘]. Die Punkte Pn sind zusammen mit den Punkten N und E die Eckpunkte von Dreiecken PnNE.
Zeichnen Sie das Dreieck P1NE für φ=38∘ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und begründen Sie sodann die obere Intervallgrenze für φ.
Zuerst solltest du das Dreieck P1NE einzeichnen, wie das aussieht, kannst du im folgenden Applet sehen. Außerdem kannst du den Punkt P auf der Strecke [CN] bewegen und dir ansehen, welche Werte der Winkel φ annimmt:
Nun musst du noch die obere Intervallgrenze für φ begründen.
Das Maß des Winkels φ wird größer, je näher der Punkt Pn am Punkt C ist. φ ist also am größten, wenn Pn auf C liegt, φ entspricht dann dem Winkel ∢CEG, dieser liegt im rechtwinkligen DreieckCGE. Du kannst also den Tangens verwenden, um das Maß des Winkels zu berechnen:
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [NPn] in Abhängigkeit von φ gilt:
Für diese Aufgabe verwendest du den Sinussatz im Dreieck PnNE.
Um den Sinussatz anwenden zu können, brauchst du zwei Winkel und die Längen der gegenüberliegenden Seiten. Du suchst die Länge NPn, der gegenüberliegende Winkel ist φ. Außerdem kennst du den Wert der Länge EN=0,5⋅EG=4,95cm, der gegenüberliegende Winkel ist hier β. Mit dem Sinussatz gilt dann also:
Du musst jetzt also nur noch das Maß von β bestimmen und dann in die Gleichung einsetzen. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer 180°. Es gilt also:
β=180°−φ−∢ENPn. Der Winkel ∢ENPn ergibt zusammen mit dem Winkel ∢CNG=61,19° eine Gerade, also einen 180° Winkel, das kannst du nutzen, um sein Maß zu berechnen: ∢ENPn=180°−61,19°=118,81°.
Das kannst du nun in die Gleichung von oben einsetzen:
Mit der Formel sin(180°−γ)=sin(γ) gilt also nun das, was du zeigen sollst:
Die Punkte Pn sind die Spitzen von Pyramiden EFHPn mit den Höhen [PnTn], deren Fußpunkte Tn auf der Strecke [EG] liegen.
Zeichnen die Pyramide EFHP1 und ihre Höhe [P1T1] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen V der Pyramiden EFHPn in Abhängigkeit von φ.
Die Punkte Pn sind auch die Spitzen von Pyramiden ABCDPn.
Für die Pyramiden EFHP2 und ABCDP2 gilt:
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformel
Du weißt, dass das Volumen der beiden Pyramiden gleich sein soll. In diese Gleichung kannst du nun die Volumenformel der Pyramide einsetzen und erhältst:
Das Ziel ist es jetzt diese Gleichung zuerst nach P2T2 aufzulösen, dann die Formel für den Wert dieser Strecke einzusetzen und anschließend φ zu bestimmen.
Davor schaust du dir aber noch die anderen Teile der Gleichung an und setzt ein. Den Flächeninhalt der Grundfläche von EFH:AEFH=24,5cm2 kennst du schon.
Den Flächeninhalt von ABCD kannst du auch schnell berechnen. Es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge AB=7cm, der Flächeninhalt beträgt also:
Die Höhen der beiden Pyramiden ergeben zusammen die Höhe des Prismas, es gilt also:
Das kannst du umstellen und erhältst für die Höhe der unteren Pyramide: hABCD=9cm−P2T2.
Jetzt kannst du wieder zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und alles einsetzen:
Nun setzt du für P2T2 die Formel aus Teilaufgabe f)ein und löst nach φ auf (Die Einheit cm ist auf beiden Seiten gleich, du kannst sie also weglassen):
