Teil B

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in\;\lbrack-2{,}5;\;5\;\rbrack$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$; $-5\leqslant x\leqslant5$ ; $-6\leqslant y\leqslant10$

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-10\cdot0{,}5^{x+5}-1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ besitzt.

Geben Sie sodann die Gleichung ihrer Asymptote an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_2$ $x\in\lbrack-4;\;5\rbrack$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

Punkte $A_n(x\vert\;10\cdot0{,}5^{x+3}+2)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $C_n(x\vert\;-10\cdot0{,}5^{x+5}-1)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$.

Die Punkte $D_n$ liegen ebenfalls auf dem Graphen zu $f_1$, ihre Abszisse ist um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=1{,}5$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

Berechnen Sie das Maß des Winkels $A_1D_1C_1$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$B_n(x-2\mid5\cdot0{,}5^{x+3}-1)$

[Teilergebnis: $D_n(x+2\mid10\cdot0{,}5^{x+5}+2)\rbrack$

Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_3$.

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecke $[AC]$ gilt: $\overline{AC}=9{,}90\ \text{cm}$.

Zeichnen Sie sodann das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\;\;\omega=45^\circ$

Berechnen Sie die Länge der Strecke $[CN]$ sowie das Maß des Winkels $CNG$.

[Ergebnis: $\sphericalangle CNG=61{,}19^\circ$]

Die Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[CN].$ Die Winkel $P_nEN$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in\rbrack\;0;\;42{,}27^\circ\rbrack$. Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $N$ und $E$ die Eckpunkte von Dreiecken $P_nNE$.

Zeichnen Sie das Dreieck $P_1NE$ für $\varphi=38^\circ$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und begründen Sie sodann die obere Intervallgrenze für $\varphi$.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[NP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $EFHP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$, deren Fußpunkte $T_n$ auf der Strecke $[EG]$ liegen.

Zeichnen die Pyramide $EFHP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $EFHP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

[Teilergebnis: $\overline{P_nT_n}(\varphi)=\dfrac{4{,}34\cdot\sin\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi+118{,}81^\circ\right)}\ \text{cm}$]

Die Punkte $P_n$ sind auch die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$.

Für die Pyramiden $EFHP_2$ und $ABCDP_2$ gilt:

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$.