Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2$

$(𝔾 = ℝ \times ℝ)$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 5]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 5 ⩽ x ⩽ 5$ ; $- 6 ⩽ y ⩽ 10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Die Definitionsmenge der Funktion beinhaltet alle Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
$0,5$ ist eine positive Zahl, im Exponenten kann daher eine beliebige Zahl eingesetzt werden. Die Definitionsmenge von $f_{1}$ sind dementsprechend die reellen Zahlen $ℝ$ .
$𝔻 = ℝ$
Der Graph von $f_{1}$ sieht so aus:
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - 10 \cdot {0,5}^{x + 5} - 1$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ besitzt.
Geben Sie sodann die Gleichung ihrer Asymptote an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{2}$ $x \in [- 4; 5]$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Hier geht es zunächst darum, eine Funktion erst zu spiegeln und danach zu verschieben.
Schritt 1: Spiegelung an der x-Achse
Um $f_{1}$ an der x-Achse zu spiegeln, multiplizierst du den Funktionsterm mit $- 1$ :
$(- 1) \cdot (10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2) = - 10 \cdot {0,5}^{x + 3} - 2$
Schritt 2: Parallelverschiebung
Nun musst du die Funktion noch mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})$ verschieben. Der Vektor verschiebt $f_{1}$ um $- 2$ in x-Richtung, also erhältst du $f_{1} (x + 2)$ , und um $1$ in y-Richtung, diese Verschiebung bekommst du durch $f_{1} (x) + 1$ . Insgesamt entsteht also als Funktionsterm:
$f_{2} (x) = - 10 \cdot {0,5}^{(x + 2) + 3} - 2 + 1 = - 10 \cdot {0,5}^{x + 5} - 1$
Die Asymptote von $f_{2}$ liegt bei $y = - 1$ . Dafür kannst du dir das Verhalten der Funktion ansehen. Wenn $x$ sehr große Werte annimmt, dann geht der Term $- 10 \cdot {0,5}^{x + 5}$ gegen $0$ und die Funktion geht dann gegen $- 1$ .
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Punkte $A_{n} (x | 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_{n} (x | - 10 \cdot {0,5}^{x + 5} - 1)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Die Punkte $D_{n}$ liegen ebenfalls auf dem Graphen zu $f_{1}$ , ihre Abszisse ist um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 1,5$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Bei dieser Teilaufgabe musst du die Koordinaten der Punkte nicht ausrechnen, um die Parallelogramme einzuzeichnen. Trotzdem kannst du dir hier nochmal rechnerisch veranschaulichen, wie die Punkte entstehen.
Bereits gegeben sind die Koordinaten der Punkte
$A_{n} (x | 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2) auf f_{1}$
und
$C_{n} (x | - 10 \cdot {0,5}^{x + 5} - 1) auf f_{2} .$
Die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ bestimmt man durch Veränderung der Abszisse von $A_{n}$ (man rechnet lediglich $x + 2$ ).
$D_{n} (x + 2 | 10 \cdot {0,5}^{(x + 2) + 3} + 2)$
Für $x = - 2$ erhältst du also die Punkte $A_{1} (- 2 | 7)$ , $C_{1} (- 2 | - 2,25)$ und $D_{1} (0 | 3,25) .$ Die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ erhältst du, indem du an den Punkt $C_{1}$ den Vektor $\vec{D_{1} A_{1}}$ anlegst. Es gilt dann:
$\vec{O B_{1}} = \vec{O C_{1}} + \vec{D_{1} A_{1}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2,25 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 - 0 \\ 7 - 3,25 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1,5 \end{array})$
Die Koordinaten des Punktes sind also $B_{1} (- 4 | 1,5)$ .
Für $x = 1,5$ erhältst du die Punkte $A_{2} (1,5 | 2,44)$ , $C_{2} (1,5 | - 1,11)$ und $D_{2} (3,5 | 2,11)$ . Für $B_{2}$ gilt dann:
$\vec{O B_{1}} = \vec{O C_{1}} + \vec{D_{1} A_{1}} = (\begin{array}{c} 1,5 \\ - 1,11 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1,5 - 3,5 \\ 2,44 - 2,11 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 0,5 \\ - 0,88 \end{array})$
Die Koordinaten sind diesmal also $B_{2} (- 0,5 | - 0,88) .$
Hinweis: auch ein Blick in Aufgabe e) liefert die Lösung für die Koordinaten der Punkte $B_{1 / 2}$ !
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Berechnen Sie das Maß des Winkels $A_{1} D_{1} C_{1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Das Maß des Winkels $∠ A_{1} D_{1} C_{1}$ ist das Maß des Winkels $φ$ zwischen den Vektoren $\vec{D_{1} A_{1}}$ und $\vec{D_{1} C_{1}} .$ Um es zu berechnen benötigst du das Skalarprodukt.
Den Vektor $\vec{D_{1} A_{1}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3,75 \end{array})$ hast du bereits in Teilaufgabe c) verwendet. Nun kannst du noch $\vec{D_{1} C_{1}} = \vec{O C_{1}} - \vec{O D_{1}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 5,5 \end{array})$ berechnen. Eingesetzt in die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren erhältst du:
$\cos (φ) = \frac{(\begin{array}{c} - 2 \\ 3,75 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 5,5 \end{array})}{| \begin{array}{c} - 2 \\ 3,75 \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} - 2 \\ - 5,5 \end{array} |} = \frac{(- 2) \cdot (- 2) + 3,75 \cdot (- 5,5)}{(\sqrt{4 + {3,75}^{2}}) \cdot (\sqrt{4 + {5,5}^{2}})}$
Das Ergebnis ist dann $\cos (φ) = - 0,6684$ . Durch Anwendung des Arkuskosinus erhältst du nun das Endergebnis $φ = {131,94}^{\circ}$ .
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$B_{n} (x - 2 | 5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1)$
[Teilergebnis: $D_{n} (x + 2 | 10 \cdot {0,5}^{x + 5} + 2)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
Bei dieser Aufgabe sind die Potenzgesetze wichtig.
Wie du schon aus Teilaufgabe c) weißt, erhältst du die Punkte $B_{n}$ indem du den Vektor $\vec{D_{n} A_{n}}$ an den Punkt $C_{1}$ anlegst. Nun kannst du zuerst die Koordinaten von $\vec{D_{n} A_{n}}$ bestimmen:
$\vec{D_{n} A_{n}} = \vec{O A_{n}} - \vec{O D_{n}} = (\begin{array}{c} x - (x + 2) \\ 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2 - (10 \cdot {0,5}^{x + 5} + 2) \end{array})$
Unter Verwendung der Potenzgesetze gilt nun
${0,5}^{x + 5} = {0,5}^{x + 3 + 2} = {0,5}^{x + 3} \cdot {0,5}^{2} = {0,5}^{x + 3} \cdot 0,25 .$
Du erhältst dann für $\vec{D_{n} A_{n}} :$
$\begin{array}{rcl} \vec{D_{n} A_{n}} & = & (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2 - (10 \cdot 0,25 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2) \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2 - 10 \cdot 0,25 \cdot {0,5}^{x + 3} - 2 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} - 2 \\ 10 \cdot {0,5}^{x + 3} + 2 - 2,5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 2 \end{array}) \\ \vec{D_{n} A_{n}} & = & (\begin{array}{c} - 2 \\ 7,5 \cdot {0,5}^{x + 3} \end{array}) \end{array}$
Jetzt kannst du $B_{n}$ bestimmen:
$\begin{array}{rcl} \vec{O B_{n}} & = & \vec{O C_{n}} + \vec{D_{n} A_{n}} \\ = & (\begin{array}{c} x - 2 \\ - 10 \cdot {0,5}^{x + 5} - 1 + 7,5 \cdot {0,5}^{x + 3} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x - 2 \\ - 10 \cdot 0,25 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1 + 7,5 \cdot {0,5}^{x + 3} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} x - 2 \\ - 2,5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1 + 7,5 \cdot {0,5}^{x + 3} \end{array}) \\ \vec{O B_{n}} & = & (\begin{array}{c} x - 2 \\ 5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1 \end{array}) \end{array}$
Insgesamt erhältst du also: $B_{n} (x - 2 | 5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1)$ .
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Unter den Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang. Außerdem stehen die Diagonalen der Raute senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen von $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ sind $\vec{A_{3} C_{3}}$ und $\vec{B_{3} D_{3}}$ .
$\vec{A_{3} C_{3}}$ verläuft parallel zur y-Achse (gleiche Abszisse x), deshalb verläuft $\vec{B_{3} D_{3}}$ parallel zur x-Achse.
Die y-Werte von $B_{3}$ und $D_{3}$ sind also gleich und du erhältst diese Gleichung:
$\begin{array}{rcrcl} y_{B_{3}} & = & y_{D_{3}} \\ 5 \cdot {0,5}^{x + 3} - 1 & = & 10 \cdot {0,5}^{x + 5} + 2 \\ 5 \cdot {0,5}^{x + 3} & - & 10 \cdot {0,5}^{x + 5} & = & 3 \\ 5 \cdot {0,5}^{x + 3} & - & 10 \cdot 0,25 \cdot {0,5}^{x + 3} & = & 3 \\ 5 \cdot {0,5}^{x + 3} & - & 2,5 \cdot {0,5}^{x + 3} & = & 3 \\ 2,5 \cdot {0,5}^{x + 3} & = & 3 \end{array}$
Um diese Gleichung zu lösen, wendest du jetzt noch den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an und verwendest seine Gesetze:
$\begin{array}{c} \ln (2, 5 \cdot {0,5}^{x + 3}) & = & \ln (3) \\ \ln (2,5) + (x + 3) \cdot \ln (0,5) & = & \ln (3) \\ (x + 3) \cdot \ln (0,5) & = & \ln (3) - \ln (2,5) \\ x + 3 & = & \frac{\ln (3) - \ln (2,5)}{\ln (0,5)} \\ x & = & \frac{\ln (3) - \ln (2,5)}{\ln (0,5)} - 3 \end{array}$
$𝕃 = {- 3,26}$
Die Abszisse von $A_{3}$ ist also $x = - 3,26$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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