Die Definitionsmenge der Funktion beinhaltet alle Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

$0{,}5$ ist eine positive Zahl, im Exponenten kann daher eine beliebige Zahl eingesetzt werden. Die Definitionsmenge von $f_1$ sind dementsprechend die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

Der Graph von $f_1$ sieht so aus:

Hier geht es zunächst darum, eine Funktion erst zu spiegeln und danach zu verschieben.

Schritt 1: Spiegelung an der x-Achse

Um $f_1$ an der x-Achse zu spiegeln, multiplizierst du den Funktionsterm mit $-1$:

Schritt 2: Parallelverschiebung

Nun musst du die Funktion noch mit dem Vektor $\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ verschieben. Der Vektor verschiebt $f_1$ um $-2$ in x-Richtung, also erhältst du $f_1\left(x+2\right)$, und um $1$ in y-Richtung, diese Verschiebung bekommst du durch $f_1\left(x\right) + 1$. Insgesamt entsteht also als Funktionsterm:

Die Asymptote von $f_2$ liegt bei $y=-1$. Dafür kannst du dir das Verhalten der Funktion ansehen. Wenn $x$ sehr große Werte annimmt, dann geht der Term $-10\cdot0{,}5^{x+5}$ gegen $0$ und die Funktion geht dann gegen $-1$.

Bei dieser Teilaufgabe musst du die Koordinaten der Punkte nicht ausrechnen, um die Parallelogramme einzuzeichnen. Trotzdem kannst du dir hier nochmal rechnerisch veranschaulichen, wie die Punkte entstehen.

Bereits gegeben sind die Koordinaten der Punkte

und

Die Koordinaten der Punkte $D_n$ bestimmt man durch Veränderung der Abszisse von $A_n$ (man rechnet lediglich $x+2$).

Für $x=-2$ erhältst du also die Punkte $A_1\left(-2|7\right)$, $C_1\left(-2|-2{,}25\right)$ und $D_1\left(0|3{,}25\right).$ Die Koordinaten des Punktes $B_1$ erhältst du, indem du an den Punkt $C_1$ den Vektor $\overrightarrow{D_1A_1}$ anlegst. Es gilt dann:

Die Koordinaten des Punktes sind also $B_1\left(-4|1{,}5\right)$.

Für $x = 1{,}5$ erhältst du die Punkte $A_2\left(1{,}5|2{,}44\right)$, $C_2\left(1{,}5|-1{,}11\right)$ und $D_2\left(3{,}5|2{,}11\right)$. Für $B_2$ gilt dann:

Die Koordinaten sind diesmal also $B_2\left(-0{,}5|-0{,}88\right).$

Hinweis: auch ein Blick in Aufgabe e) liefert die Lösung für die Koordinaten der Punkte $B_{1/2}$!

Das Maß des Winkels $\angle A_1D_1C_1$ ist das Maß des Winkels $\varphi$ zwischen den Vektoren $\overrightarrow{D_1A_1}$ und $\overrightarrow{D_1C_1}.$ Um es zu berechnen benötigst du das Skalarprodukt.

Den Vektor $\overrightarrow{D_1A_1}\ =\ \begin{pmatrix} -2 \\3{,}75 \end{pmatrix}$ hast du bereits in Teilaufgabe c) verwendet. Nun kannst du noch $\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{OC_1} -\overrightarrow{OD_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5{,}5 \end{pmatrix}$ berechnen. Eingesetzt in die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren erhältst du:

Das Ergebnis ist dann $\cos\left(\varphi\right) = -0{,}6684$. Durch Anwendung des Arkuskosinus erhältst du nun das Endergebnis $\varphi = 131{,}94^\circ$.

Bei dieser Aufgabe sind die Potenzgesetze wichtig.

Wie du schon aus Teilaufgabe c) weißt, erhältst du die Punkte $B_n$ indem du den Vektor $\overrightarrow{D_nA_n}$ an den Punkt $C_1$ anlegst. Nun kannst du zuerst die Koordinaten von $\overrightarrow{D_nA_n}$ bestimmen:

Unter Verwendung der Potenzgesetze gilt nun

Du erhältst dann für $\overrightarrow{D_nA_n}:$

Jetzt kannst du $B_n$ bestimmen:

Insgesamt erhältst du also: $B_n\left(x-2 \mid 5\cdot0{,}5^{x+3} -1\right)$.

Bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang. Außerdem stehen die Diagonalen der Raute senkrecht aufeinander.

Die Diagonalen von $A_3B_3C_3D_3$ sind $\overrightarrow{A_3C_3}$ und $\overrightarrow{B_3D_3}$.

$\overrightarrow{A_3C_3 }$ verläuft parallel zur y-Achse (gleiche Abszisse x), deshalb verläuft $\overrightarrow{B_3D_3}$ parallel zur x-Achse.

Die y-Werte von $B_3$ und $D_3$ sind also gleich und du erhältst diese Gleichung:

Um diese Gleichung zu lösen, wendest du jetzt noch den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an und verwendest seine Gesetze:

$\mathbb{L}=\{-3{,}26\}$

Die Abszisse von $A_3$ ist also $x = -3{,}26$.