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Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=100,5x+3+2y=10\cdot0{,}5^{x+3}+2

(G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion f1f_1 an.

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x  [2,5;  5  ]x\in\;\lbrack-2{,}5;\;5\;\rbrack in ein Koordinatensystem.

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 5x5-5\leqslant x\leqslant5 ; 6y10-6\leqslant y\leqslant10

  2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(21)\overrightarrow v=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

    Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=100,5x+51y=-10\cdot0{,}5^{x+5}-1 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} besitzt.

    Geben Sie sodann die Gleichung ihrer Asymptote an und zeichnen Sie den Graphen zu f2f_2 x[4;  5]x\in\lbrack-4;\;5\rbrack in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

  3. Punkte An(x  100,5x+3+2)A_n(x\vert\;10\cdot0{,}5^{x+3}+2) auf dem Graphen zu f1f_1 und Punkte Cn(x  100,5x+51)C_n(x\vert\;-10\cdot0{,}5^{x+5}-1) auf dem Graphen zu f2f_2 haben dieselbe Abszisse xx und sind zusammen mit Punkten BnB_n und DnD_n die Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n.

    Die Punkte DnD_n liegen ebenfalls auf dem Graphen zu f1f_1, ihre Abszisse ist um 22 größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n.

    Zeichnen Sie die Parallelogramme A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=2x=-2 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=1,5x=1{,}5 in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.

  4. Berechnen Sie das Maß des Winkels A1D1C1A_1D_1C_1.

  5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte BnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt:

    Bn(x250,5x+31)B_n(x-2\mid5\cdot0{,}5^{x+3}-1)

    [Teilergebnis: Dn(x+2100,5x+5+2)]D_n(x+2\mid10\cdot0{,}5^{x+5}+2)\rbrack

  6. Unter den Parallelogrammen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es die Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A3A_3.