Aufgaben zu Winkeln

1
Betrachte die nachfolgende Abbildung. Es gilt: $α = 110^{\circ}$ .
2. Bestimme die Größe des Winkels $β$ .
  Gib nur die Masszahl ohne das Grad-Zeichen ein.
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $β$ ist Nebenwinkel zu $α$ .
  Damit gilt: $α + β = 180^{\circ}$ .
  Folglich: $β = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ .
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3. Bestimme die Größe des Winkels $γ$ .
  Gib nur die Masszahl ohne das Grad-Zeichen ein.
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  $γ$ ist Scheitelwinkel zu $α$ . Damit gilt: $γ = α = 110^{\circ}$ .
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2
Wie groß ist die Innenwinkelsumme der folgenden Formen:
1. 540°
  360°
  580°
  480°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Innenwinkelsumme
  Die Innenwinkelsumme kann man entweder mit der Formel berechnen oder über die Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke bestimmen.
  Einerseits kann man die Innenwinkel Summe durch die Formel $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ errechnen. Also in dem Fall $(5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 540 °$
  Die zweite Möglichkeit ist, dass man das n-Eck in Dreiecke unterteilt. Die Dreiecke müssen dabe ihre Ecken in den Ecken des n-Ecks haben. Da ein Dreieck die Innenwinkelsumme $180 °$ hat, kann man die Innenwinkelsumme folgendermaßen betiimen:
  Anzahl der Dreicke $\cdot 180 °$
  Hier lässt sich das 5-Eck in $3$ solche Dreiecke zerteilen, also gilt:
  $3 \cdot 180 ° = 540 °$
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  Informiere dich über die Merkmale eines Dreiecks, Vierecks und Fünfecks! Behalte das als Grundwissen.
2. 1080°
  950°
  1250°
  1440°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Innenwinkelsumme
  Unterteile das Achteck in gleich große Dreiecke. Die Dreiecke müssen dabe ihre Ecken in den Ecken des n-Ecks haben. Da ein Dreieck die Innenwinkelsumme $180 °$ hat, kann man die Innenwinkelsumme folgendermaßen bestimmen:
  Anzahl der Dreicke $\cdot 180 °$
  Hier lässt sich das 8-Eck in $6$ solche Dreiecke zerteilen, also gilt:
  $6 \cdot 180 ° = 1080 °$
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  Hier kannst du das Achteck in gleich große Dreiecke zerlegen und so auf das Resultat der Innenwinkel kommen!
3. 2160°
  1800°
  2520°
  1980°
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme
  
  Einerseits kann man die Innenwinkelsumme eines n-Ecks mit der Formel $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ berechnen. Also in diesem Fall mit (14 - 2) x 180 = 2160.
  Die zweite Möglichkeit ist, dass man das n-Eck in Dreiecke unterteilt. Die Dreiecke müssen dabe ihre Ecken in den Ecken des n-Ecks haben. Da ein Dreieck die Innenwinkelsumme $180 °$ hat, kann man die Innenwinkelsumme folgendermaßen betiimen:
  Anzahl der Dreicke $\cdot 180 °$
  Hier lässt sich das 14-Eck in $12$ solche Dreiecke zerteilen, also gilt:
  $12 \cdot 180 ° = 2160 °$
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  Die Winkelsumme (siehe Grundwissen!) eines n-Ecks kann man entweder mit der Formel berechnen oder sich durch Unterteilung in Dreicke herleiten.
3
Hier werden die parallelen Geraden $h$ und $f$ von einer dritten Geraden $g$ geschnitten. Berechne mit Hilfe der vorgegebenen Maße, den Winkel $β$ und erläutere anschließend, warum $β = γ$ und $68^{\circ} = δ$ gilt.
4
Berechne das Maß des Winkels $β$ . Dabei gilt: $g ∥ h$ und $f ∥ i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stufen- und Nebenwinkel
Winkelbeziehungen
Der Winkel $α_{2}$ ist ein Stufenwinkel zu α.
Damit gilt: $α_{2} + β = 180 °$
Der Winkel $β$ ist Nebenwinkel zu $α_{2}$ .
Folglich: $β = 180 ° - 61,86 ° = 118,14 °$
5
Das Trapez, dass du hier siehst, wird in zwei unterschiedlich große Dreiecke aufgeteilt. Berechne anhand der gegebenen Größen die fehlenden Winkelmaße ( $δ$ ; $ζ$ ; $η$ ; $θ$ ).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unterschiedliche Winkelarten
Es gilt: $α = η$ , da sich hier ein Wechselwinkel befindet
$η = {24,3}^{\circ}$
Somit kann man im Dreieck $△ A C D$ den Winkel $δ$ ausrechnen.
$180^{\circ} - α - ε = δ$
$180^{\circ} - 24,3 - {114,7}^{\circ}$
$δ = 41^{\circ}$
Dann kann man den Winkel $θ$ im Dreieck $△ A B C$ ausrechnen.
$180^{\circ} - α - β = θ$
$180^{\circ} - {24,3}^{\circ} - {114,5}^{\circ}$
$θ = {41,2}^{\circ}$
Nun muss man nur noch die Winkel $γ$ und $ζ$ im Trapez ausrechnen.
$γ = η + θ$
$γ = 24,3 + {41,2}^{\circ}$
$γ = {65,5}^{\circ}$
$ζ = α + ε$
$ζ = {24,3}^{\circ} + {114,7}^{\circ}$
$ζ = 139^{\circ}$
Zum Schluss kann man natürlich noch die Umkehrprobe machen, damit man nachprüfen kann, dass man sich nicht verrechnet hat. Bsp.: $△ A B C$
$α + γ + θ = 180^{\circ}$
${24,3}^{\circ} + {114,5}^{\circ} + {41,2}^{\circ} = 180^{\circ}$
$180^{\circ} = 180^{\circ}$
Im Trapez gilt: $A B ∥ C D$ . Suche nach besonderen Winkelpaaren wie z.B Wechselwinkel, Stufenwinkel oder Z-Winkel.
6
Berechne die fehlenden Winkelmaße des Dreiecks mit Hilfe der gegebenen Größen:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nebenwinkel
Da gilt $β + {80,3}^{\circ} = 180^{\circ}$
somit: $β = 180^{\circ} - {80,3}^{\circ}$
$β = {99,7}^{\circ}$
Dann kann man $γ$ ausrechnen: $180^{\circ} - β - α = γ$
$180^{\circ} - {99,7}^{\circ} - {34,3}^{\circ} = γ$
$γ = 46^{\circ}$
Wen du dir die Aufgabe genauer anschaust, erkennst du, dass du $β$ ganz einfach berechnen kannst. Da $β$ und $80,3 °$ Nebenwinkel sind, musst du nur $180 ° - 80,3 °$ rechnen um $β$ herauszufinden.
$γ$ erhälst du weil du weißt, dass die Winkelsumme im Dreieck $180 °$ beträgt. Du musst also nur noch die anderen Winkel von $180 °$ abziehen. $180 ° - 99,7 ° - 34,3 °$ um auf den fehlenden Winkel $γ$ zu kommen.
7
Hier werden die parallelen Geraden $h$ und $f$ von einer dritten Geraden $g$ geschnitten. Berechne mit Hilfe der vorgegebenen Maße, den Winkel $δ$ und erläutere anschließend, warum $δ = ε$ und $69^{\circ} = ζ$ gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stufen- und Wechselwinkel
Zuerst rechnet man den Winkel $δ$ aus. Der Winke $δ$ ist Nebenwinkel von $69 °$ . Deshalb gilt:
$180^{\circ} - 69^{\circ} = δ$
$δ = 111^{\circ}$
Es gilt $δ = ε$ , weil die zwei Geraden $h$ und $f$ parallel zu einander verlaufen, von $g$ geschnitten werden und sich somit ein Stufenwinkel ergibt.
Es gilt $69^{\circ} = ζ$ , da die zwei parallelen Geraden $h$ und $f$ von $g$ geschnitten werden und sich hiermit ein Wechselwinkel ergibt.