Länge der Fahrbahn

Berechne die Nullstelle von $r(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}-1\right)$.

Da $e^0=1$ ist, muss $\frac{1}{11} \cdot(32-x)=0$ sein$\;\Rightarrow\;x=32$.

Wegen der Symmetrie der Brücke und da eine Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität beträgt, ist die Länge der Brücke $2\cdot 32\cdot 10=640\;\text{m}$.

Term $l(x)$ für das Abspannseil (links)

Wegen der Symmetrie der Brücke ist $r(x)=r(-x)$. Damit kann $l(x)=r(-x)$ angegeben werden.

Ersetze in $r(x)$ die Variable $x$ durch $(-x)$:

Damit ist $l(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32+x)}-1\right)$.

Intervall, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

Die linke Nullstelle befindet sich bei $x=-32$ und der linke Pfeiler bei $x=-20$. Die Funktion $l(x)$ ist demnach im Intervall $[-32;-20]$ definiert.

Länge eines Pfeilers oberhalb der Fahrbahn.

Berechne $r(20)$:

Definiere auf dem GTR-Rechner die Funktion $r(x)$ und berechne dann $r(20)$:

$r(20)\approx5{,}001757\approx5$

Mit der Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität heißt das, der Pfeiler hat eine Länge von rund $50 \mathrm{~m}$.

Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den rechten Pfeiler trifft

Lass Dir vom GTR-Rechner die 1. Ableitung der Funktion $r$ anzeigen und lies für $x=20$ die Steigung ab.

$r'(20)\approx-0{,}684705...\;\Rightarrow\;\tan(\alpha)=-0{,}6847\;$

$\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}(-0{,}6847)\approx-34{,}4^\circ$

Das ist der Winkel im 4. Quadranten. Der Winkel in dem eingezeichneten Dreieck (grün) (siehe Abbildung) ist dann $34{,}4^\circ$ und entsprechend der gesuchte Winkel (orange) ist dann $90^\circ -\alpha=90^\circ -34{,}4^\circ=55{,}6^\circ$.

Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler.

Es soll gelten:

Die Teilfläche soll halb so groß sein wie das gesamte Flächenstück sein.

$0{,}5\cdot\displaystyle \int_{20}^{32}r(x)\;dx=\displaystyle \int_{20}^{a}r(x)\;dx$

Löse mit dem GTR

Löse die obige Gleichung.

Der GTR liefert als Lösung $x\approx23{,}04497246$ bzw. das gesuchte $a$.

Der gesuchte Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler ist dann:

$23{,}045-20=3{,}045\;\text{LE}$. Das sind rund $30{,}45\;\text{m}$.

Symmetrie des Graphen

Gegeben ist die Funktion $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$.

Die Funktion $s$ hat nur gerade Exponenten für die Variable $x$.

Demnach ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Alternativ kann gezeigt werden, dass $s(x)=s(-x)$ ist.

$s(-x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left((-x)^{4}+2560 (-x)^{2}\right)+\frac{125}{256}=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}=s(x)$

Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang

Gegeben ist der Term:

$[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10$

Aus dem Aufgabentext entnimmt man:

"Die 24 vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben von den Pfeilern und untereinander einen horizontalen Abstand von jeweils $16 \mathrm{~m}$."

Betrachte den ersten Term in der Klammer $s(-20+1{,}6 \cdot 1)$.

Die Zahl 1,6 entspricht dem horizontalen Abstand der 24 vertikal verlaufenden Halteseile von jeweils $16 \mathrm{~m}$.

In diesem ersten Term ist $x=-20+1{,}6=-18{,}4$. Das ist die Stelle, an der sich auf der linken Seite neben dem linken Pfeiler das erste Halteseil unter dem Tragseil befindet.

$s(-20+1{,}6 \cdot 1)\cdot 10$ berechnet somit die Länge in Metern dieses ersten Halteseils.

Entsprechend werden die Längen aller 24 Halteseile berechnet und addiert.

Der Term $[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10$ gibt demnach die gesamte Länge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt in Metern an.

Abstand von Q zum Tragseil

Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(20|0)$ und der Punkt $P$ ist ein Punkt auf dem Tragseil $P(x|s(x))$. Der Abstand von $Q$ zum Tragseil ist die Läge der Strecke $\overline{QP}$.

Die Strecke $\overline{QP}$ muss für den kürzesten Abstand senkrecht auf $s$ stehen.

$\Rightarrow\;m_{\overline{QP}}=-\dfrac{1}{s'(x)}=\dfrac{s(x)-0}{x-20}\;\Rightarrow\;-1=s'(x)\cdot\dfrac{s(x)-0}{x-20}$

Der GTR liefert als Lösung im relevanten Bereich:

$x\approx18{,}16039215\;\Rightarrow\;x\approx18{,}16$

Damit kann nun der kürzeste Abstand mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:

Mit der Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität folgt dann:

$d=|\overline{QP}|=10\cdot\sqrt{(20-18{,}16)^2+s(18{,}16)^2}$

Die Lösung mit dem GTR ergibt der Wert $d\approx45{,}15606836$.

Der Abstand von $Q$ zum Tragseil beträgt rund $45{,}2\;\text{m}$.

Summe der Streckenlängen

Die gesamte Streckenlänge $L$ ist:

$L=2\cdot |\overline{BC}|=2\cdot \sqrt{(20-0)^2+(s(20)-s(0))^2}$

(Faktor 2 wegen der Symmetrie.)

Der GTR liefert als Lösung $L\approx41{,}00730129$.

Mit der Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität heißt das, die Streckenlänge $L$ beträgt rund $410{,}1 \mathrm{~m}$.

Begründung, dass die Länge des Tragseils größer ist als die Summe der Streckenlängen in der Realität

Eine Gerade ist immer der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten.

Das Tragseil zwischen zwei Punkten hängt in der Realität immer etwas durch, d.h. es verläuft entlang einer Kurve. Deshalb muss die Tragseillänge größer als die Länge der beiden Geraden sein.