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Aufgabe 5

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Batterien für Elektroautos speichern unterschiedlich viel Energie.

Um die Batteriepreise vergleichen zu können, wird der Preis in Euro pro Kilowattstunde (kWh) angegeben. Der Graph ff beschreibt die Entwicklung des Batteriepreises.

Ralf hat eine Modellierung für die Preise von 2010 bis 2015 vorgenommen und folgende Funktionsgleichung aufgestellt.

f(x)=1029,40,84xf(x)=1029{,}4 \cdot 0{,}84^{x}

  1. Erkläre die Bedeutung der Zahlen 1029,41029{,}4 und 0,840{,}84 sowie von x\textbf{x} und f(x)\textbf{f(x)} im Sachzusammenhang. (2 BE)

  2. In der Abbildung ist der Punkt P(5430,51)P(5 \mid 430{,}51) eingetragen.

    Erkläre die Bedeutung des Punktes im Sachzusammenhang. (1 BE)

  3. Berechne mithilfe der Funktion f\textbf{f} den voraussichtlichen Batteriepreis pro kWh\mathrm{kWh} zu Beginn des Jahres 20182018. (2 BE)

  4. Berechne mithilfe von Ralfs Modell den Batteriepreis pro kWh zu Beginn des Jahres 2008. (2 BE)

  5. Die Kosten für die Batterie bestimmen stark die Kosten für das Elektroauto. Laut Experten werden Elektroautos günstiger als mit Benzin fahrende Autos, sobald der Batteriepreis unter 170 €170~ € pro kWh fällt.

    Bestimme, in welchem Jahr der Preis voraussichtlich erstmals unter 170 €170~€ liegt. (3 BE)

  6. Bild

    Ralf findet eine Abbildung zur Entwicklung des Batteriepreises.

    Überprüfe, ob die Funktion ff zu dieser Angabe passt. (3 BE)

  7. Zu Beginn des Jahres 2021 lag der tatsächliche Batteriepreis bei 95 €95~€ pro kWh.

    Yasmin stellt fest, dass der Preis nicht zu Ralfs Modellierung passt.

    Berechne, um wie viel Euro Ralfs Modellierung vom tatsächlichen Preis abweicht. (2 BE)

  8. Im Koordinatensystem ist der Ladevorgang einer Batterie dargestellt.

    Bild

    Beschreibe mithilfe des Graphen den Ladevorgang. (2 BE)

  9. Begründe, warum es sich beim Ladevorgang um kein exponentielles Wachstum handelt. (1 BE)

  10. Der Graph kann mit g(x)=1001000.96xg(x)=100-100 \cdot 0.96^{x} beschrieben werden.

    Begründe, dass die Funktion g\textbf{g} nie den Wert 100100 erreicht. (2 BE)