Aufgaben zur Normalverteilung - lernen mit Serlo!

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Eine Maschine produziert 500 mm lange Schrauben mit einer Standardabweichung von 10 mm. Die Länge der Schrauben kann als normalverteilt angesehen werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 485 mm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Länge der Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert $\mu=500$ und Standardabweichung $\sigma=10$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer ist als 485 mm, also $P(X<485)$ . Da Randwerte die Wahrscheinlichkeit nicht ändern ist $P(X<485)=P\left(X\leq 485\right)$ .

$\displaystyle P(X\le k)$	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
$\displaystyle P(X\leq485)$	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{485-500}{10}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \Phi (-1{,}5)=1-\Phi (1{,}5)$
	↓	Lies den Wert im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle 1-0{,}93319=0{,}06681$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube kürzer als $4{,}85\, \text{cm}$ ist, beträgt also etwa $6{,}7\ \%$ .

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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube höchstens 501 mm und mindestens 499 mm lang ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Länge der Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert $μ=500$ und Standardabweichung $σ=10$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube länger ist als 499 mm und kürzer als 501 mm, also $P(499\leq X\leq 501)$ .

$\displaystyle P(l\le X\le k)$	$=$	$\displaystyle P(X\le k)-P(X\le l)$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{l-\mu}{\sigma}\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{501-500}{10}\right)-\Phi\left(\frac{499-500}{10}\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \Phi(0{,}1)-\Phi(-0{,}1)$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$\displaystyle \Phi(0{,}1)-(1-\Phi(0{,}1))$
	↓	Lies die Werte im Tafelwerk der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle 0{,}53983-(1-0{,}53983)= 0{,}07966$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}08$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube höchstens 501 mm und mindestens 499 mm lang ist, beträgt also etwa $8\%$ .

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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube nicht verkauft werden kann, also um mehr als 50 mm vom Standardwert (500 mm) abweicht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung

Die Länge der Schrauben ist normalverteilt mit Erwartungswert $μ=500$ und Standardabweichung $σ=10$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube länger ist als 550 mm und kürzer als 450 mm, also $P(X\leq450,\; 550\leq X)$ .

$\displaystyle P(X\le l,k\le X)$	$=$	$\displaystyle P(X\le l)+P(k\le X)$
	↓	Schreibe um mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
	$=$	$\displaystyle P(X\le l)+(1-P(X\le k))$
	↓	Nähere mit der Normalverteilung an.
	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{l-\mu}{\sigma}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)\right)$
	↓	Setz die Werte ein.
	$≈$	$\displaystyle \Phi\left(\frac{450-500}{10}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{550-500}{10}\right)\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \Phi(-5)+(1-\Phi(5))$
	↓	Nutz die Symmetrie der Verteilungsfunktion.
	$=$	$\displaystyle (1-\Phi(5))+(1-\Phi(5))$
	↓	Lies die Werte im Tafelwek der Stochastik ab.
	$≈$	$\displaystyle (1-1)+(1-1)=0$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube nicht verkauft werden kann, beträgt also so gut wie $0\%$ .

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