Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\sin (x)$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangenten an den Graphen in den dargestellten Schnittpunkten mit der $x$ -Achse.

Zeigen Sie, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1 hat. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente und Normale

Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung der Funktion.

Diese ist gegeben durch $f^{'} (0) :$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(x\right)$
	↓	Ableitung von Sinus
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(x\right)$
$\displaystyle f'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \cos\left(0\right)$
	$=$	$\displaystyle 1$

Die Tangente, die die Funktion an der Stelle $x = 0$ berührt, hat die Steigung $1$ .

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Bestimme die Ableitung der Funktion.
Berechne den Wert der Steigung an der Stelle $x = 0$ .

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das vom Graphen von $f$ und den beiden Tangenten eingeschlossen wird. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Grenzen der Integration

Das Flächenstück zwischen den Geraden und dem Graphen von $f$ ist symmetrisch um die Stelle $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Es reicht also das Integral von $0$ bis $\dfrac{\pi}{2}$ zu berechnen und die Fläche doppelt zu nehmen.

Wert des Integrals

Integriert wird die Differenz der "oberen Funktion" und der "unteren Funktion".

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x-\sin(x)~dx$
	↓	Stammfunktion bestimmen
	$=$	$\displaystyle \left[\dfrac{1}{2}x^2+\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 0^2+\cos(0)\right)$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{8}+0-1$
	↓	Gesamtfläche ist das Doppelte.
$\displaystyle A_\text{ges}$	$=$	$\displaystyle \underbrace{2}_{\text{Fläche doppelt nehmen (Symmetrie)}}\cdot A$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \left(\dfrac{\pi^2}{8}-1\right)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{4}-2$

Die Fläche zwischen den Kurven hat den Gesamtwert $\dfrac{\pi^2}{4}-2$ Flächeneinheiten.

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Bestimme zuerst die Grenzen, in denen das Integral berechnet werden muss.
- Achte darauf, dass das Flächenstück symmetrisch ist. Damit kann man sich etwas Arbeit sparen.
Berechne das Integral der Differenz $\int x-\sin(x)~dx$ in den richtigen Grenzen.