Bei einem Waschgang werden mehr als 45 Liter verbraucht

$X$ ist der Wasserverbrauch für einen Waschgang in Litern.

$P(X>45)=\text{normCdf}(45,\infty,45, 1.2)=0{,}5$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang mehr als 45 Liter verbraucht werden, beträgt $50\;\%$.

Bei einem Waschgang werden weniger als 47 Liter verbraucht

$P(x<47)=\text{normCdf}(-\infty,47{,}45, 1.2)\approx0{,}9522$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang weniger als 47 Liter verbraucht werden, beträgt rund $95\;\%$.

Bei einem Waschgang werden auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht

$P(44{,}5\leq X<45{,}5)=\text{normCdf}(44.5{,}45.5{,}45{,}1.2)\approx0{,}3231$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Waschgang auf ganze Liter gerundet $45$ Liter verbraucht werden, beträgt rund $32\;\%$.

Symmetrisches Intervall

Es soll gelten: $P(X\leq 45-r)=2{,}5\;\%$

Mit dem Casio fx-CG 20 findet man die Lösung diese Gleichung mit:

$\text{NormCD}(0{,}45-x,1.2{,}45)=0{,}025\;\Rightarrow\;x\approx2{,}351956...$

Somit ist der gesuchte Wert für $r$: $r\approx2{,}35$.

Das gesuchte Intervall ist dann $[45 − r; 45 + r]=[42{,}65;47{,}35]$.

Bestimmen der Standardabweichung

$Y$: Wasserverbrauch für einen Waschgang in Litern

$\mu=60,$ $\sigma$ unbekannt

Es soll gelten: $P(Y>65)=0{,}1$ mit unbekanntem $\sigma$.

Dann folgt:

$1-\text{NormCD}(0{,}65,x,60)=1\;\Rightarrow\;x\approx3{,}90152...$.

Diese Gleichung hat somit die Lösung $\sigma\approx3{,}9$.

Die Standardabweichung beträgt rund $3{,}9$ Liter.

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Das Prüfgerät trifft eine richtige Entscheidung, wenn es ein defektes Bauteil als defekt oder ein funktionierendes Bauteil als nicht defekt erkennt.

$P(\text{richtige Entscheidung}) = 0{,}12 \cdot 0{,}9 + 0{,}88 \cdot (1-0{,}05) =0{,}944$

Damit ist gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der das Prüfgerät eine richtige Entscheidung trifft, etwa $94 \;\%$ beträgt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes Steuerelement eingebaut wird

Hier hilft ein Baumdiagramm:

$D$: Steuerelement hat einen Defekt

$\overline {D}$: Steuerelement hat keinen Defekt

$E$: defektes Steuerelement wird erkannt

$\overline {E}$: defektes Steuerelement wird nicht erkannt

Es ist:

$P(\overline {E})=P(D\cap \overline {E})+P(\overline {D}\cap \overline {E})=0{,}12\cdot 0{,}1+0{,}88\cdot 0{,}95=0{,}848$

Weiterhin ist:

$P_{ \overline {E}}(D)=\dfrac{P(D\cap \overline {E})}{P( \overline {E})}=\dfrac{0{,}12\cdot 0{,}1}{0{,}848}\approx0{,}01415$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes Steuerelement eingebaut wird, beträgt rund $1{,}4\;\%$.

Interpretieren im Sachzusammenhang

Gegeben ist der Term $0{,}88^{10} \cdot 1+\left(1-0{,}88^{10}\right) \cdot 11$.

Anders dargestellt sieht der Term folgendermaßen aus:

• Dabei ist $1-0{,}12=0{,}88$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Steuerelemente keinen Defekt haben.

• $0{,}88^{10}$ besagt, dass 10-mal hintereinander kein Defekt auftritt und $1$ ist die Anzahl der Überprüfungen.

• Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist $1-0{,}88^{10}$. Hierin sind alle Ereignisse vereinigt, bei denen mindestens ein Steuerteil defekt ist.

• Die Zahl $11$ setzt sich zusammen aus $1+10$, d.h. in der laufenden Prüfung (entspricht der $1$) wird mindestens ein defektes Steuerelement gefunden, sodass zusätzlich jedes Steuerelement einzeln geprüft wird (entspricht der $10$).

Somit gibt der Term die zu erwartende Anzahl (der Erwartungswert ist etwa $8{,}2$) benötigter Prüfungen für $10$ hintereinandergeschaltete Steuerelemente an.

Die zu erwartende Anzahl der Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl von Einzelprüfungen soll am kleinsten sein

$n$: ist die Anzahl der hintereinandergeschalteten Steuerelemente

Der Erwartungswert für die Anzahl der Prüfungen (analog zum 1. Teil) ist:

$E=0{,}88^n \cdot 1 + (1 − 0{,}88^n) \cdot (n + 1)$ mit $n\in \mathbb{N}$ und $n \geq 1$

Dann gilt für den Erwartungswert im Verhältnis zur Anzahl der Einzelprüfungen:

Bilde die Ableitung von $f(n)=\dfrac{0{,}88^n \cdot 1 + (1 − 0{,}88^n) \cdot (n + 1)}{n}$ und löse die Gleichung $f'(n)=0$ um das Minimum zu finden:

Die erste Lösung entfällt, da $n \geq 1$ sein muss.

Wegen $n\in \mathbb{N}$ ist die zweite Lösung $n=3$ oder $n=4$.

$f(3)\approx 0{,}65186$ und $f(4)\approx 0{,}65030$ und $f(5)\approx0{,}67227$

Wie man sieht, ist der Wert von $f(4)$ am kleinsten.

Der Quotient ist für $n=4$ minimal.