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Aufgabe 3B

Bild

Für kRk \in \mathbb{R} mit 0<k60<k \leq 6 werden die Pyramiden ABCDkA B C D_{k} mit A(000),B(400),C(040)A(0|0| 0), B(4|0| 0), C(0|4| 0) und Dk(00k)D_{k}(0|0| k) betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Der Mittelpunkt der Strecke BC\overline{B C} ist M(220)M(2|2| 0).

  1. Begründen Sie, dass das Dreieck BCDkB C D_{k} gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCDkB C D_{k} für k=6k=6. (5 BE)

  2. Für jeden Wert von kk liegt die Seitenfläche BCDkB C D_{k} in der Ebene LkL_{k}.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von LkL_{k} in Koordinatenform. (4 BE)

    [Zur Kontrolle: x+y+4kz=4x+y+\frac{4}{k} \cdot z=4]

  3. Ermitteln Sie den Wert von kk, für den die Größe des Winkels, unter dem die zz-Achse die Ebene LkL_{k} schneidet, 3030^{\circ} beträgt. (3 BE)

  4. Bild

    Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte AA und Q(113)Q(1|1| 3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für k=6k=6 enthält die Seitenfläche BCDkB C D_{k} der Pyramide den Eckpunkt QQ des Quaders. Für kleinere Werte von kk schneidet die Seitenfläche BCDkB C D_{k} den Quader in einem Vieleck.

    Für einen Wert von kk liegen die Eckpunkte PP und RR des Quaders in der Seitenfläche BCDkB C D_{k}.

    Bestimmen Sie diesen Wert von kk.

    [Zur Kontrolle: k=4k=4 ]

    Für diesen Wert von kk liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der

    Seitenfläche BCDkB C D_{k}.

    Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes. (6 BE)

  5. Geben Sie in Abhängigkeit von kk die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCDkB C D_{k} den Quader schneidet. (3 BE)

  6. Bild

    Nun wird die Pyramide ABCD6A B C D_{6} betrachtet.

    Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der xyx y-Ebene, haben den Eckpunkt AA gemeinsam und sind quadratisch.

    Die Höhe hh der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0<h<60<h<6. Für jeden Wert von hh liegt der Eckpunkt QhQ_{h} in der Seitenfläche BCD6B C D_{6} der Pyramide.

    Ermitteln Sie die Koordinaten des

    Punktes QhQ_{h}. (4 BE)