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Aufgabe 3C

Bild

Der in der Abbildung gezeigte Körper ABCDEFGHA B C D E F G H stellt einen massiven Betonkörper dar, das Rechteck EFGHE F G H dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

An der durch die Strecke EH\overline{E H} dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte kann entlang der Kante EH\overline{E H} umgeklappt werden. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers auf, schließt sie bündig mit den Kanten der Deckseite ab. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

Gegeben sind die Punkte A(000),B(0200),E(040120)A(0|0| 0), B(0|20| 0), E(0|40| 120), F(058114)F(0|58| 114) und H(2040120)H(-20|40| 120).

Es gilt: AD=BC=FG=EH=(2000)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{F G}=\overrightarrow{E H}=\left(\begin{array}{c}-20 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die xyx y-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 cm1 \mathrm{~cm} in der Realität.

  1. Zeigen Sie, dass die Kanten AE\overline{A E} und BF\overline{B F} parallel sind, und prüfen Sie, ob das Viereck ABFEA B F E im Punkt EE einen rechten Winkel hat. (3 BE)

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck EFGHE F G H liegt, in Koordinatenform. (3 BE)

    [Zur Kontrolle: y+3z=400]y+3 \cdot z=400]

  3. Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist (213)\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right).

    Bild

    Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung). Durch den Eckpunkt KK wird ein Schattenpunkt KK^{\prime} auf der Deckseite des Betonkörpers erzeugt.

    Ermitteln Sie die Koordinaten von KK^{\prime}.

    (6 BE)

    Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe c) betrachtet wurde, können alle

    Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen Ea:  ay+z=40a+120E_a:\;a \cdot y +z = 40 \cdot a +120 mit aRa\in \mathbb{R} beschrieben werden.

  4. Ermitteln Sie denjenigen Wert von aa, für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt. (3 BE)

  5. Geben Sie die Bedeutung der Lösung der Gleichung (213)(0a1)=0\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ a \\ 1\end{array}\right)=0 bezüglich der Position der Karte zum Sonnenlicht an.

    Beschreiben Sie für diese Position den durch die Karte auf die Deckseite fallenden Schatten. (5 BE)

  6. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch FF dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch P(0y1z)P\left(0\left|y_{1}\right| z\right) und Q(0y2z)Q\left(0\left|y_{2}\right| z\right) mit y2<y1y_{2}<y_{1} beschrieben, wobei FP=y1y2|\overrightarrow{F P}|=y_{1}-y_{2} gilt.

    Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken EF\overline{E F} und EQ\overline{E Q} einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken EF\overline{E F} und EP\overline{E P}, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. (5 BE)