1. Ableitung

Verwende die Kettenregel, wobei $-2x^2-2x^2$ die innere Funktion ist, die nachdifferenziert werden muss:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-4x\cdot e^{-2x^2}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-4x\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}$

2. Ableitung

Verwende die Produktregel und die Kettenregel:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-4\cdot e^{-2x^2}+(-4x)\cdot (-4x)\cdot e^{-2x^2}=-4x{e}^{-2x^2}+16x^2{e}^{-2x^2}=e^{-2x^2}\cdot x\cdot (16x-4)f\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-4\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}+\backslash left(-4x\backslash right)\backslash cdot\backslash left(-4x\backslash right)\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}=-4xe^\{-2x^2\}+16x^2e^\{-2x^2\}=e^\{-2x^2\}\backslash cdot\; x\backslash cdot\backslash left(16x-4\backslash right)$

erste Ableitung

Verwende sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Die Konstante +1 fällt weg.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,5}\cdot e^{-x}+(-\mathrm{0,5}x)\cdot (-1)\cdot e^{-x}=e^{-x}\cdot (-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}x)f\text{'}(x)=-0\{,\}5\backslash cdot\; e^\{-x\}+(-0\{,\}5x)\backslash cdot\; (-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}=e^\{-x\}\backslash cdot(-0\{,\}5+0\{,\}5x)$

zweite Ableitung

Verwende erneut die Ketten- und die Produktregel

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-1\cdot e^{-x}\cdot (-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}x)+e^{-x}\cdot \mathrm{0,5}=e^{-x}(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5})=e^{-x}\cdot (1-\mathrm{0,5}x)f\text{'}\text{'}(x)=-1\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot(-0\{,\}5+0\{,\}5x)+e^\{-x\}\backslash cdot\; 0\{,\}5=e^\{-x\}(0\{,\}5-0\{,\}5x+0\{,\}5)=e^\{-x\}\backslash cdot\; (1-0\{,\}5x)$

erste Ableitung

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)\cdot e^{-2x^2}+(\mathrm{0,5}{x}^2+x)\cdot (-4x)\cdot e^{-2x^2}=(x+1)\cdot e^{-2x^2}+(-2x^3-4x^2)\cdot e^{-2x^2}=e^{-2x^2}\cdot (-2x^3-4x^2+x+1)f\text{'}(x)=(x+1)\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}+(0\{,\}5x^2+x)\backslash cdot\; (-4x)\; \backslash cdot\; e^\{-2x^2\}=(x+1)\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}+(-2x^3-4x^2)\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}\; =e^\{-2x^2\}\backslash cdot\; (-2x^3-4x^2+x+1)$

zweite Ableitung

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4x\cdot e^{-2x^2}\cdot (-2x^3-4x^2+x+1)+e^{-2x^2}\cdot (-6x^2-8x+1)=e^{-2x^2}\cdot (8x^4+16x^3-10x^2-12x+1)f\text{'}\text{'}(x)=-4x\backslash cdot\; e^\{-2x^2\}\backslash cdot\; (-2x^3-4x^2+x+1)+e^\{-2x^2\}\backslash cdot(-6x^2-8x+1)=e^\{-2x^2\}\backslash cdot\; (8x^4+16x^3-10x^2-12x+1)$