1. Ableitung

Verwende die Kettenregel, wobei $-2x^2$ die innere Funktion ist, die nachdifferenziert werden muss:

$f^{\prime }\left(x\right)=-4x\cdot e^{-2x^2}$

2. Ableitung

Verwende die Produktregel und die Kettenregel:

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=-4\cdot e^{-2x^2}+(-4x)\cdot (-4x)\cdot e^{-2x^2}=-4x{e}^{-2x^2}+16x^2{e}^{-2x^2}=e^{-2x^2}\cdot x\cdot (16x-4)$

erste Ableitung

Verwende sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel. Die Konstante +1 fällt weg.

$f^{\prime }(x)=-\mathrm{0,5}\cdot e^{-x}+(-\mathrm{0,5}x)\cdot (-1)\cdot e^{-x}=e^{-x}\cdot (-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}x)$

zweite Ableitung

Verwende erneut die Ketten- und die Produktregel

$f^{\prime \prime }(x)=-1\cdot e^{-x}\cdot (-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}x)+e^{-x}\cdot \mathrm{0,5}=e^{-x}(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5})=e^{-x}\cdot (1-\mathrm{0,5}x)$

erste Ableitung

$f^{\prime }(x)=(x+1)\cdot e^{-2x^2}+(\mathrm{0,5}{x}^2+x)\cdot (-4x)\cdot e^{-2x^2}=(x+1)\cdot e^{-2x^2}+(-2x^3-4x^2)\cdot e^{-2x^2}=e^{-2x^2}\cdot (-2x^3-4x^2+x+1)$

zweite Ableitung

$f^{\prime \prime }(x)=-4x\cdot e^{-2x^2}\cdot (-2x^3-4x^2+x+1)+e^{-2x^2}\cdot (-6x^2-8x+1)=e^{-2x^2}\cdot (8x^4+16x^3-10x^2-12x+1)$