Hilfsmittelfreier Teil

Lösung

Berechne das Volumen $\text{V}\backslash text\{V\}$ des Würfels, indem du die Kantenlänge von $4\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{4\backslash \; cm\}$ für $\text{a}\backslash text\{a\}$ in die Formel einsetzt.

$\mathrm{V}=(4\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^3\Rightarrow \mathrm{V}=64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\backslash mathrm\{V=(4\backslash \; cm)^3\backslash quad\backslash Rightarrow\; V=64\backslash \; cm^3\}$

Das Volumen des Würfels beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{V}=64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{V=64\backslash \; cm^3\}\}$

Lösung

${\mathrm{n}}^2=2^2+2^2\Rightarrow \mathrm{n}=\sqrt{4+4}\backslash mathrm\{n^2=2^2+2^2\backslash quad\backslash Rightarrow\; n=\backslash sqrt\{4+4\}\}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{n}=\sqrt{8}\mathrm{c}\mathrm{m}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{n=\backslash sqrt\{8\}\backslash \; cm\}\}$

Die Länge der Seite $\text{n}\backslash text\{n\}$ beträgt $\sqrt{8}\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{.}\backslash mathrm\{\backslash sqrt\{8\}\backslash \; cm\}.$ Also stimmt die Behauptung.

Lösung

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders lautet:

$\mathrm{V}=\mathrm{l}\cdot \mathrm{b}\cdot \mathrm{h}\backslash \; \backslash mathrm\{V=l\backslash cdot\; b\backslash cdot\; h\}$

Bei dem hier gezeigten Quader gilt: $\mathrm{l}=\mathrm{b}=\mathrm{n}=\sqrt{8}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{l=b=n=\backslash sqrt\{8\}\backslash \; cm\}$.

$\mathrm{V}=\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}\cdot 4\Rightarrow \mathrm{V}=8\cdot 4\backslash mathrm\{V=\backslash sqrt\{8\}\backslash cdot\backslash sqrt\{8\}\backslash cdot\; 4\backslash quad\backslash Rightarrow\; V=8\backslash \; \backslash cdot\; 4\}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{V}=32\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{V=32\backslash \; cm^3\}\}$

Das Volumen des Quaders beträgt $32\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\mathrm{.}\backslash mathrm\{32\backslash \; cm^3\}.$

Lösung

Anfertigen der Skizze.

Die Grundfläche des großen Quadrates besteht aus acht gleich großen Dreiecken.

Die vier eingefärbten Dreiecke bilden die Grundseite des Quaders. Da der Quader und der Würfel gleich hoch sind, ist das Volumen des Quaders halb so groß wie das Volumen des Würfels.

Lösung

Berechnen der Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine $11$, oder eine $22$ zu würfeln.

${\mathrm{P}}_{(1;2)}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{(1;2)}\approx 33\mathrm{\%}\backslash mathrm\{P\_\{(1;2)\}=\backslash dfrac\{2\}\{6\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; P\_\{(1;2)\}\backslash approx33\backslash \; \backslash \%\}$

$\backslash rule\{12.5cm\}\{0.5mm\}$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit beim Drehen des Glücksrads auf ein graues Feld zu kommen.

Anzahl Felder $20\backslash hspace\{9mm\}20$

Anzahl graue Felder $7\backslash \; \backslash \; 7$

${\mathrm{P}}_{(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{.}\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d})}={\displaystyle \frac{7}{20}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{.}\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d})}=35\mathrm{\%}\backslash mathrm\{P\_\{(gr.\; Feld)\}=\backslash dfrac\{7\}\{20\}\backslash qquad\backslash Rightarrow\; P\_\{(gr.\; Feld)\}=35\backslash \; \backslash \%\}$

$\backslash rule\{12.5cm\}\{0.5mm\}$

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist beim Glücksrad größer als beim Würfel.

Kreuze entsprechend an.

Lösung

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, eine $66$ zu würfeln.

${\mathrm{P}}_{(6)}={\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{(6,6)}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2\backslash mathrm\{P\_\{(6)\}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash quad\backslash Rightarrow\; P\_\{(6,\; 6)\}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{6\}=\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash right)^2\}$

Kreuze entsprechend an.

Die Wahrscheinlichkeit eine $66$ zu würfeln ist ${\displaystyle \frac{1}{6}}\backslash dfrac\{1\}\{6\}$. Da es sich hier um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt, muss diese Wahrscheinlichkeit mit sich selbst multipliziert werden.

Lösung

Mit dem Term, den Dorothee aufgestellt hat, berechnet sie die Gegenwahrscheinlichkeit.

Sie berechnet damit in der Klammer die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, die nicht zu ${\mathrm{P}}_{(6,6)}\backslash mathrm\{P\_\{(6\{,\}6)\}\}$ gehören.

Lösung

Ergänzung der Tabelle:

Lösung

Lösung

Die Parabel und die Gerade haben nur zwei Schnittpunkte. Rechnerisch lässt sich das begründen, da eine quadratische Gleichung entsteht (die höchstens zwei Lösungen hat).

Schnittpunkte

Die Lösung der Gleichung, $\mathbf{0},\mathbf{25}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{1}=\mathbf{0},\mathbf{5}\mathbf{x}+\mathbf{1}\backslash bold\{0\{,\}25x^2-1=0\{,\}5x+1\}$ kann an den x-Werten der Schnittpunkte abgelesen werden.

Lösung: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{x}}_1=-2}};\boxed{{\displaystyle {\mathrm{x}}_2=4}}\backslash qquad\backslash boxed\{\backslash mathrm\{x\_1=-2\}\}\backslash \; ;\backslash qquad\; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{x\_2=4\}\}$