Hilfsmittelfreier Teil

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Aufgaben zu Prüfung IGS E 2022, Hilfsmittelfreier Teil. Zum Download hier.

1
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 1
Skizze nicht maßstabsgerecht
In der Abbildung siehst du einen Würfel mit einer Kantenlänge von $4 \mathrm{~cm}$ .
In der Grundfläche werden die Mittelpunkte der Kanten zu einem Quadrat verbunden. Die Länge der Seite $n$ beträgt $\sqrt{8} \mathrm{~cm}$ .
1. Berechne das Volumen des Würfels. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
  Lösung
  Berechne das Volumen $\text{V}$ des Würfels, indem du die Kantenlänge von $\mathrm{4\ cm}$ für $\text{a}$ in die Formel einsetzt.
  $\mathrm{V=(4\ cm)^3\quad\Rightarrow V=64\ cm^3}$
  Das Volumen des Würfels beträgt: $\ \boxed{\mathrm{V=64\ cm^3}}$
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  Berechne das Volumen $\text{V}$ des Würfels, indem du die Kantenlänge von $\mathrm{4\ cm}$ für $\text{a}$ in die Formel einsetzt.
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels lautet:
2. Zeige durch eine Rechnung, dass die Länge der Seite $n$ tatsächlich $\sqrt{8} \mathrm{~cm}$ beträgt. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Lösung
  Skizze zur Aufgabe
  Die Punkte $\mathrm{m_a}$ halbieren die Seiten des großen Quadrates.
  Die so entstandenen Teildreiecke sind rechtwinklige Dreiecke.
  Es gilt der Satz des Pythagoras:
  $\mathrm{n^2=2^2+2^2\quad\Rightarrow n=\sqrt{4+4}}$
  $\boxed{\mathrm{n=\sqrt{8}\ cm}}$
  Die Länge der Seite $\text{n}$ beträgt $\mathrm{\sqrt{8}\ cm}.$ Also stimmt die Behauptung.
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  Berechne die Länge von $n$ mit dem Satz des Pythagoras.
3. Skizze nicht maßstabsgerecht
  Das Quadrat mit den Seitenlängen $n$ wird zu einem Quader erweitert.
  Berechne das Volumen dieses Quaders. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
  Lösung
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders lautet:
  $\ \mathrm{V=l\cdot b\cdot h}$
  Bei dem hier gezeigten Quader gilt: $\mathrm{l=b=n=\sqrt{8}\ cm}$ .
  $\mathrm{V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot 4\quad\Rightarrow V=8\ \cdot 4}$
  $\boxed{\mathrm{V=32\ cm^3}}$
  Das Volumen des Quaders beträgt $\mathrm{32\ cm^3}.$
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  Berechne das Volumen des Quaders mit der Formel $V=l\cdot b\cdot h$ .
  Die Seiten auf der Grundfläche sind $\sqrt {8}$ $\text{cm}$ lang. (Aufgabe (b))
4. Begründe, dass Dirk Recht hat. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Lösung
  Anfertigen der Skizze.
  Die Grundfläche des großen Quadrates besteht aus acht gleich großen Dreiecken.
  Die vier eingefärbten Dreiecke bilden die Grundseite des Quaders. Da der Quader und der Würfel gleich hoch sind, ist das Volumen des Quaders halb so groß wie das Volumen des Würfels.
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2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Aufgabe 2
Du hast die Wahl zwischen zwei Zufallsversuchen.
1. Entscheide mithilfe von Rechnungen, bei welchem Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen größer ist. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsexperiment
  Lösung
  Berechnen der Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine $1$ , oder eine $2$ zu würfeln.
  $\mathrm{P_{(1;2)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\quad\Rightarrow P_{(1;2)}\approx33\ \%}$
  $\rule{12.5cm}{0.5mm}$
  Berechnen der Wahrscheinlichkeit beim Drehen des Glücksrads auf ein graues Feld zu kommen.
  Anzahl Felder $\hspace{9mm}20$
  Anzahl graue Felder $\ \ 7$
  $\mathrm{P_{(gr. Feld)}=\dfrac{7}{20}\qquad\Rightarrow P_{(gr. Feld)}=35\ \%}$
  $\rule{12.5cm}{0.5mm}$
  Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist beim Glücksrad größer als beim Würfel.
  Kreuze entsprechend an.
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  Berechne die Wahrscheinlichkeit beim Würfel eine $1$ oder eine $2$ zu würfeln
  Berechne dann die Wahrscheinlichkeit beim Drehen des Glücksrads auf ein graues Feld zu kommen.
  Vergleiche die beiden Ergebnisse.
2. Ein Spielwürfel wird zweimal gewürfelt.
  Es soll die Wahrscheinlichkeit für zweimal eine Sechs berechnet werden.
  Kreuze alle Terme an, mit denen $P(6{,}6)$ berechnet werden kann.
  Erkläre, warum deine angekreuzten Terme richtig sind. (3 BE)
  $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$
  $\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}$
  $\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}$
  $1-\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6}$
  $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mehrstufige Zufallsexperimente
  Lösung
  Berechnen der Wahrscheinlichkeit, eine $6$ zu würfeln.
  $\mathrm{P_{(6)}=\dfrac{1}{6}\quad\Rightarrow P_{(6, 6)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2}$
  Kreuze entsprechend an.
  Die Wahrscheinlichkeit eine $6$ zu würfeln ist $\dfrac{1}{6}$ . Da es sich hier um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt, muss diese Wahrscheinlichkeit mit sich selbst multipliziert werden.
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  Berechne die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln.
3. Dorothee zeichnet ein verkürztes Baumdiagramm und stellt einen Term zur Berechnung von $P(6{,}6)$ auf:
  $P(6{,}6)=1-\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}\right)$
  Erkläre, warum Dorothees Term auch richtig ist. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Lösung
  Mit dem Term, den Dorothee aufgestellt hat, berechnet sie die Gegenwahrscheinlichkeit.
  Sie berechnet damit in der Klammer die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, die nicht zu $\mathrm{P_{(6{,}6)}}$ gehören.
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Aufgabe 3

Hier siehst du verschiedene Graphen.

Trage die Nummern der Graphen richtig in die Tabelle ein. (3 BE)
Du kannst die Nummern mit der Maus ziehen und in der Tabelle ablegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen und Gleichungen
Lösung
Ergänzung der Tabelle:
Richtige Zuordnung
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Löse die Gleichung $x^{2}+1900=2800$ schriftlich. (2 BE)

Janina möchte die Gleichung $0{,}25 x^{2}-1=0{,}5 x+1$ grafisch lösen.
Sie hat die Zeichnung rechts angefertigt.
Erkläre, warum mithilfe der Zeichnung die Gleichung gelöst werden kann und gib die Lösungen an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Lösung
Die Parabel und die Gerade haben nur zwei Schnittpunkte. Rechnerisch lässt sich das begründen, da eine quadratische Gleichung entsteht (die höchstens zwei Lösungen hat).
Schnittpunkte
Skizze
Rechnerisch würde man die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
In den Schnittpunkten der beiden Graphen sind die Koordinaten gleich.
Die Lösung der Gleichung, $\bold{0{,}25x^2-1=0{,}5x+1}$ kann an den x-Werten der Schnittpunkte abgelesen werden.
Lösung: $\qquad\boxed{\mathrm{x_1=-2}}\ ;\qquad \boxed{\mathrm{x_2=4}}$
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Die Erklärung muss begründen, warum die Parabel und die Gerade nicht noch mehr Schnittpunkte außerhalb der Skizze haben könnten.
Lies die Koordinaten der Schnittpunkte aus der Skizze ab.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \mathrm{x^2+1900}$	$=$	$\displaystyle 2800$	$\displaystyle -1900$
	↓	Subtrahiere
$\displaystyle \mathrm{x^2}$	$=$	$\displaystyle 900$	$\displaystyle \pm\sqrt{}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle \mathrm{{x_1}_,{_2}}$	$=$	$\displaystyle \pm90$

Hilfsmittelfreier Teil

Aufgabe 1

Lösung

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Aufgabe 2

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Aufgabe 3

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