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Aufgabe 3C

In einem Koordinatensystem mit Ursprung O(0∣0∣0)O(0|0| 0) sind die folgenden Vektoren gegeben:

OA→=(40−2),OB→=(41,5−0,5)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O A}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \overrightarrow{O B}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 1{,}5 \\ -0{,}5\end{array}\right) und OC→=(2−2−3)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O C}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -3\end{array}\right)

  1. Zeigen Sie die GĂŒltigkeit folgender Aussagen:

    • Es gibt Werte fĂŒr aa und bb, sodass gilt: OC→=a⋅OA→+b⋅OB→\overrightarrow{O C}=a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot \overrightarrow{O B}

    • OC→\overrightarrow{O C} und AB→\overrightarrow{A B} sind nicht kollinear.

    (4BE)

  2. Die Gerade durch die Punkte A(4∣0∣−2)A(4|0| − 2) und B(4∣1,5∣−0,5)B(4|1{,}5| − 0{,}5) wird mit gg bezeichnet.

    Die Gerade durch die Punkte OO und C(2∣−2∣−3)C(2|−2| − 3) wird mit hh bezeichnet.

    BegrĂŒnden Sie nur mit den Aussagen aus Teilaufgabe a), dass sich gg und hh in genau einem Punkt schneiden. (3BE)

  3. Die Geraden gg und hh liegen in der Ebene EE mit der Gleichung

    x⃗=(40−2)+s⋅(01,51,5)+t⋅(−2−2−1),s∈R,t∈R\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}.

    FĂŒr jeden Wert von a∈Ra \in \mathbb{R} wird ein Punkt Da(a∣1∣1−a2)D_{a}\left(a|1| 1-\frac{a}{2}\right) betrachtet.

    Geben Sie eine Gleichung der Geraden durch BB und D1D_{1} an. (2BE)

  4. Zeigen Sie, dass der Punkt DaD_{a} fĂŒr jeden Wert von aa in der Ebene EE liegt. (4BE)

  5. Berechnen Sie den Wert von aa, sodass sich die Gerade gg und die Gerade durch die Punkte BB und DaD_{a} orthogonal schneiden. (3BE)

  6. Bestimmen Sie den Wert von aa, fĂŒr den der Abstand von AA und DaD_{a} minimal ist. (4BE)