Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht

Löse die Gleichung $f'(x)=0$. Du erhältst als einzige Lösung $x=2{,}5$.

Der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, ist $x=2{,}5$ Monate.

Größter Wert

Berechne $f(2{,}5)=4000 \cdot 2{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 2{,}5} =\dfrac{10000}{e}\approx3679$

Die momentane Änderungsrate des Absatzes hat $2{,}5$ Monate nach Produkteinführung den größten Wert von $3679$ Stück pro Monat.

Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 1000 Stück pro Monat gehören

Erläuterung zu den Berechnungen

$f'$ beschreibt die Zu- und Abnahme der momentanen Änderungsrate des Absatzes.

Die möglichen Extremstellen von $f'$ sind die Nullstellen von $f''$.

Nach Gleichung $\mathrm{i:}\quad f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=5$ und Gleichung $\mathrm{ii:}\quad f'''(x)>5$ gilt, dass $f'$ an der Stelle $x=5$ ein Minimum hat.

Die beiden Zeitpunkte

Der Graph von $f$ zeigt, dass $f'(0)>0$ und $f'(18)<0$ ist.

Da es im Inneren des Definitionsbereiches kein Maximum geben kann, nimmt $f'$ sein Maximum an der Stelle $x=0$ an.

Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt also zum Zeitpunkt der

Produkteinführung am stärksten zu und fünf Monate danach am stärksten ab.

Vergleich der momentanen Änderungsraten

Berechne $f(5)$ und $g(5)$ und vergleiche die Werte.

$f(5)\approx2707$ und $g(5) \approx5413$$\;\Rightarrow\;g(5)\approx2\cdot f(5)$

Fünf Monate nach Produkteinführung ist die momentane Änderungsrate des

Absatzes für die Smartwatch etwa doppelt so groß wie die für das Armband.

Anzahl der im ersten Jahr verkauften Smartwatches

Berechne das Integral von $0$ bis $12$ (Monate) über $g(x)$:

$\displaystyle\int_0^{12}g(x)\;dx\approx42873$

Die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches beträgt rund $42900$.

Zeitpunkt, bis zu dem ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden

Es muss für den Zeitraum $t$ gelten:

$\displaystyle\int_0^{t}f(x)\;dx=\displaystyle\int_0^{t}g(x)\;dx$

Eine Lösung ist $t=0$.

Die zweite Lösung findet man, indem die Graphen der Stammfunktionen von $f$ und $g$ gezeichnet werden und der Schnittpunkt bestimmt wird.

Zeichne $\displaystyle\int_0^{t}f(x)\;dx$ und $\displaystyle\int_0^{t}g(x)\;dx$. Bestimme die Schnittpunkte.

Der zweite Schnittpunkt liegt bei $x\approx 4{,}4832...$.

Nach etwa $4{,}5$ Monaten wurden ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft.

Koordinaten des Extrempunktes und des Wendepunktes

Es ist $E\left(\frac{10}{b} \mid\frac{10}{b} \cdot e^{-1}\right)$ und $W\left(\frac{20}{b} \mid \frac{20}{b} \cdot e^{-2}\right)$ mit $b=1$ folgt dann:

$E\left(10 \mid10 \cdot e^{-1}\right)$ und $W\left(20 \mid 20 \cdot e^{-2}\right)$

Tangentengleichung aufstellen

Bestimme die Tangentengleichung durch den Wendepunkt $W\left(20 \mid 20 \cdot e^{-2}\right)$.

Dazu wird die Steigung im Wendepunkt benötigt:

Lasse Dir die Steigung der Funktion $h_1$ an der Stelle $x=20$ anzeigen:

Es ist $\dfrac{d}{dx}(h_1(x))|_{x=20}\approx -0{,}135335...$. Also ist $m\approx-0{,}135$.

Für die Tangentengleichung folgt dann:

Setze die Koordinaten des Wendepunktes ein:

Damit lautet die Tangentengleichung:

Nullstelle der Tangente und Integrationsgrenze für später

Berechne die Nullstelle der Tangente: $-0{,}135\cdot x+5{,}41=0\;\Rightarrow\;x_N\approx40$

Flächeninhalte bestimmen

Nun kann der gesuchte Flächeninhalt berechnet werden.

Für das Integral folgt: $\displaystyle\int_0^{20}h_1(x)\;dx\approx59{,}399415...$

Für die Dreiecksfläche gilt: $A=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Mit $g=40-20=20$ und $h=h_1(20)=\dfrac{20}{e^2}\;\Rightarrow\;A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot\dfrac{20}{e^2}=\dfrac{200}{e^2}\approx27{,}067$

Damit ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt zu:

Die Tangente an den Graphen von $h_{1}$ in dessen Wendepunkt und der Graph von $h_{1}$ schließen mit der $x$-Achse eine Fläche von rund $86{,}5\; \text{FE}$ ein.

Gleichungen der beiden Ursprungsgeraden

Es ist $E\left(\frac{10}{b} \mid\frac{10}{b} \cdot e^{-1}\right)$

$x=\dfrac{10}{b}\;\Rightarrow\;b=\dfrac{10}{x}$

Für y eingesetzt ergibt sich die Geradengleichung:

$y=\frac{10}{b} \cdot e^{-1}$

Setze $b=\dfrac{10}{x}$ in $y$ ein$\;\Rightarrow\;y=\dfrac{10}{\dfrac{10}{x}}\cdot e^{-1} =\dfrac{1}{e}\cdot x$

Die Gerade, auf der die Extrempunkte liegen, ist: $y=\dfrac{1}{e}\cdot x$.

Es ist $W\left(\frac{20}{b} \mid \frac{20}{b} \cdot e^{-2}\right)$

$x=\dfrac{20}{b}\;\Rightarrow\;b=\dfrac{20}{x}$

Für $y$ eingesetzt ergibt sich die Geradengleichung:

$y=\frac{20}{b} \cdot e^{-2}$

Setze $b=\dfrac{20}{x}$ in $y$ ein $\;\Rightarrow\;y=\dfrac{20}{\dfrac{20}{x}}\cdot e^{-2} =\dfrac{1}{e^2}\cdot x$

Die Gerade, auf der die Wendepunkte liegen, ist: $y=\dfrac{1}{e^2}\cdot x$.

Begründung

Betrachte zunächst das Dreieck für $b=1$ mit den Koordinaten $O(0|0), E_1(10|\frac{10}{e})$ und $W_1(20|\frac{20}{e^2})$. Betrachte nun ein Dreieck für beliebiges $b$. Es hat die Koordinaten $O(0|0), E_b(\frac{10}{b}|\frac{10}{b\cdot e})$ und $W_b(\frac{20}{b}|\frac{20}{b\cdot e^2})$.

Für beliebige Werte von $b$ geht das Dreieck $OWE$ aus dem entsprechenden

Dreieck für $b=1$ durch Streckung mit dem Faktor $\dfrac{1}{b}$ hervor, wobei das Streckzentrum im Koordinatenursprung liegt.

Daher sind alle Dreiecke $OWE$ ähnlich.

Visualisierung

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung. Gezeichnet sind die Dreiecke für $b=1$ und $b=2$.