Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit

$A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (2 ∣ 0 ∣ 0), C (2 ∣ 2 ∣ 0), D (0 ∣ 2 ∣ 0)$ und $S (1 ∣ 1 ∣ 4)$ .

Die Grundfläche $A B C D$ ist quadratisch.

Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $A B C D$ wird mit $T$ bezeichnet.

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $T$ an.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S$ . (6BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Koordinaten des Punktes $T$
$\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
Die Koordinaten des Punktes sind $T (1 ∣ 1 ∣ 0)$ .
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S$
$O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{\triangle}=2\cdot 2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot h=4+4\cdot h$
Berechnung der Höhe der Seitenfläche $h$
Die Mitte der Seite $\overline{BC}$ ist: $\overrightarrow{OU}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$
Dann ist der Vektor $\overrightarrow{US}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OU}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}$ .
Die Höhe der Seitenfläche ist:
$h=\left|\overrightarrow{US}\right|=\left|\begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+0^2+4^2}=\sqrt{17}$
Damit ergibt sich der Inhalt der Pyramidenoberfläche zu:
$O_{ABCDS}=4+4\cdot h=4+4\cdot \sqrt{17}\approx20{,}5$
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Teil 1
Berechne $\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)$
Teil 2
Berechne $O_{ABCDS}=A_G+4\cdot A_{\triangle}$

Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$ . (3BE)

Der Mittelpunkt der Kante $\overline{C D}$ wird mit $M$ bezeichnet.

Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ gibt, für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist. (5BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ , für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

$M$ ist der Mittelpunkt der Kante $\overline{C D}$ :

$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

Also ist $M (1 ∣ 2 ∣ 0)$ .

Erstelle eine Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$ .

$\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

$g:\;\vec x=\overrightarrow{OD}+r\cdot \overrightarrow{D S}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$

Ein möglicher Punkt $P\in\overline{C S}$ hat die Form $(r ∣ 2 - r ∣ 4 r)$ mit $0\leq r\leq 1$ .

Das Dreieck soll im Punkt $M$ rechtwinklig sein $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{MB}\circ\overrightarrow{MP}=0$ .

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}r\\2-r\\4r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r-1\\-r\\4r\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{MB}\circ\overrightarrow{MP}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die berechneten Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}r-1\\-r\\4r\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle r-1+2r$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle 3r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Man hat eine Lösung für $r$ gefunden, d.h. es gibt einen solchen Punkt.

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Die vier Punkte $E, F, G$ und $H$ liegen jeweils auf einer der vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten und haben alle die $z$ -Koordinate $1$ (vgl. Abbildung).
Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten:
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)$ liefert $k=\frac{1}{4}$ und damit $x = 1,75$ und $y = 0,25$ .
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die x- und y-Koordinaten des Punktes $F$ .
Ansatz der gegebenen Lösung:
Auf der linken Seite der Gleichung steht die Geradengleichung durch die Punkte $D$ und $S$ . Die rechte Seite der Gleichung ist ein Vektor zu einem Punkt auf der Geraden, der die z-Koordinate $1$ hat. Berechnet werden mit diesem Ansatz die Koordinaten des Punktes $F$ .
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Teil 1
Gesucht sind die x- und y-Koordinaten eines Punktes, der auf einer bestimmten Geraden liegt.
Teil 2
Beachte, was auf den beiden Seiten der Gleichung steht.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide $E F G H T$ . (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen der Pyramide $E F G H T$
$V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|^2\cdot h$
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) erhält man die Koordinaten von $F (1,75 ∣ 0,25 ∣ 1)$ und $G (1,75 ∣ 1,75 ∣ 1)$ . (Da die Fläche quadratisch ist, muss die y-Koordinate von $G$ gleich der x-Koordinate von $F$ sein.)
$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}1{,}75\\1{,}75\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1{,}75\\0{,}25\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\left|\overrightarrow{FG}\right|=1{,}5$
Die Höhe entspricht $h = 1$ , da alle Punkte der Grundfläche die z-Koordinate $z = 1$ haben.
$\;\Rightarrow\;V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot 1{,}5^2\cdot1=\dfrac{3}{4}$
Das Volumen der Pyramide $E F G H T$ beträgt $\dfrac{3}{4}$ .
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Bestimme mit dem Ergebnis aus Aufgabe d) die Koordinaten von $F$ und $G$ .
Berechne das Volumen mit $V_{EFGHT}=\dfrac{1}{3}\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|^2\cdot h$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{AS}\circ \overrightarrow{AB}}{\left\|\overrightarrow{AS}\right\|\cdot \left\|\overrightarrow{AB}\right\|}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+0^2+0^2}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{18}\cdot 2}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{18}}$

Aufgabe 3A

Die Koordinaten des Punktes TTT

Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCDSABCDSABCDS

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Die Größe des Winkels zwischen den Kanten AS‾\overline{A S}AS und AB‾\overline{A B}AB

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Gibt es einen Punkt PPP auf der Kante DS‾\overline{D S}DS, für den das Dreieck BMPB M PBMP im Punkt MMM rechtwinklig ist?

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Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung

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Das Volumen der Pyramide EFGHTEFGHTEFGHT

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Die Koordinaten des Punktes $T$

Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S$

Die Größe des Winkels zwischen den Kanten $\overline{A S}$ und $\overline{A B}$

Gibt es einen Punkt $P$ auf der Kante $\overline{D S}$ , für den das Dreieck $B M P$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist?

Das Volumen der Pyramide $E F G H T$