Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Funktionen (10 Punkte)

Im Koordinatensystem ist die Normalparabel $p$ dargestellt.

Die Gerade $f$ hat die Gleichung $f (x) = 4 x - 2$ .
Zeichnen Sie die Gerade $f$ in das vorgegebene Koordinatensystem.
Geben Sie die Koordinaten eines Schnittpunktes der beiden Graphen an. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Funktionen
Darstellung der Graphen
Ein Schnittpunkt ist $S (1 | 2)$ .
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Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Ordnen Sie zu. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Steigung der Funktion $f$
$f (x) = m \cdot x + b$
$f (x) = 4 x - 2$
Steigung: $m = 4$
Die Aussage "Die Steigung der linearen Funktion $f$ ist negativ" ist falsch.
Schnittpunkte von Parabel und Gerade
Parabel: $p (x) = - x^{2} - 2 x + 5$
Gerade: $f (x) = 4 x - 2$
$- x^{2} - 2 x + 5$ $=$ $4 x - 2$
↓
fasse zusammen
$- x^{2} - 6 x + 7$ $=$ $0$ $: (- 1)$
$x^{2} + 6 x - 7$ $=$ $0$
Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$
$x_{1} = 1$
$x_{2} = - 7$
Die Aussage "Die Gerade und die Parabel schneiden sich in zwei Punkten" ist richtig.
Schnittpunkt der Funktion f mit der y-Achse
Die Gerade $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0 | - 2)$
Die Aussage "Die Gerade $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(- 2 ∣ 0)$ ist falsch.
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Entscheide, ob die Gerade steigt oder fällt.
Die letzteren Aussagen können durch Berechnung des Schnittpunkts untersucht werden.
$*$ Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $p$ an. $S (\dots | \dots)$
Notieren Sie eine Gleichung der Parabel $p$ in der Scheitelpunktform.
(2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen
Der Scheitelpunkt ist $S (- 1 | 6)$ .
Verwendung der Scheitelform zur Bestimmung der Gleichung der Parabel
$p (x) = - (x + 1)^{2} + 6$
Achte dabei auf das Minuszeichen vor der Klammer, da die Parabel nach unten geöffnet ist.
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Lies den Scheitelpunkt aus dem Graphen ab.
Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein.
$*$ Die Parabel $p$ hat die Gleichung $p (x) = - x^{2} - 2 x + 5$ .
Bestimmen Sie die $x$ -Koordinaten derjenigen Punkte der Parabel $p$ , deren $y$ -Koordinate -10 ist. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$- 10$ $=$ $- x^{2} - 2 x + 5$ $+ 10$
$0$ $=$ $- x^{2} - 2 x + 15$ $\cdot (- 1)$
↓
Verwendung der pq-Formel
$=$ $x^{2} + 2 x - 15$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^{2} + 15}$
$x_{1,2}$ $=$ $- 1 \pm \sqrt{16}$
$=$ $- 1 \pm 4$
$x_{1}$ $=$ $3$
$x_{2}$ $=$ $- 5$
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Setze $p (x) = y = - 10$ in die Gleichung ein und löse nach $x$ auf

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$- x^{2} - 2 x + 5$	$=$	$4 x - 2$
	↓	fasse zusammen
$- x^{2} - 6 x + 7$	$=$	$0$	$: (- 1)$
$x^{2} + 6 x - 7$	$=$	$0$

$- 10$	$=$	$- x^{2} - 2 x + 5$	$+ 10$
$0$	$=$	$- x^{2} - 2 x + 15$	$\cdot (- 1)$
	↓	Verwendung der pq-Formel
	$=$	$x^{2} + 2 x - 15$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^{2} + 15}$
$x_{1,2}$	$=$	$- 1 \pm \sqrt{16}$
	$=$	$- 1 \pm 4$
$x_{1}$	$=$	$3$
$x_{2}$	$=$	$- 5$

Funktionen (10 Punkte)

Darstellung der Graphen

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Steigung der Funktion f

Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Schnittpunkt der Funktion f mit der y-Achse

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Scheitelpunkt aus dem Graphen ablesen

Verwendung der Scheitelform zur Bestimmung der Gleichung der Parabel

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Steigung der Funktion $f$