Teil A

$({\mathrm{a}}^2\cdot {\mathrm{b}}^2{)}^{\frac{1}{2}}={\mathrm{a}}^{2\cdot \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{b}}^{2\cdot \frac{1}{2}}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}\backslash mathrm\{(a^2\backslash cdot\; b^2)^\backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; a^\{2\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash cdot\; b^\{2\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =\; a\backslash cdot\; b\}$

${\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{t}}^2\mathrm{\ne }{\mathrm{s}}^2\cdot {\mathrm{t}}^2=(\mathrm{s}\cdot \mathrm{t}{)}^2\backslash mathrm\{s^\{-2\}\backslash cdot\; t^2\; \backslash neq\; s^2\backslash cdot\; t^2\; =(s\backslash cdot\; t)^2\}$

${\displaystyle \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{y}}^{-2}}}={\mathrm{x}}^2\cdot {\mathrm{y}}^2=(\mathrm{x}\cdot \mathrm{y}{)}^2\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{x^2\}\{y^\{-2\}\}=x^2\backslash cdot\; y^2=(x\backslash cdot\; y)^2\}$

$a=5\text{ cm}a=5\backslash text\{\; cm\}$ $\to \backslash rightarrow$ $a^{\mathrm{\prime }}=10\text{ cm}a\text{'}=10\backslash text\{\; cm\}$

Daher ist der Streckungsfaktor $k=2k=2$.

Damit ist $b^{\mathrm{\prime }}=k\cdot b=2\cdot 3\text{ cm}=6\text{ cm}b\text{'}=k\backslash cdot\; b\; =2\backslash cdot\; 3\backslash text\{\; cm\}\; =6\backslash text\{\; cm\}$

Außerdem ist $\alpha ={\alpha }^{\mathrm{\prime }}\backslash alpha=\backslash alpha\text{'}$, da bei einer zentrischen Streckung der Original- und der Bildwinkel gleich groß sind.

Der Radius der Halbkugel wird vervierfacht $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Der Streckungsfaktor $k=4k=4$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $V^{\mathrm{\prime }}V\text{'}$= $V\cdot k^{3}V\backslash cdot\; k^3$

$V^{\mathrm{\prime }}=V\cdot 4^3=V\cdot 64V\text{'}=V\backslash cdot\; 4^3=V\backslash cdot\; 64$

Das Volumen der ursprünglichen Halbkugel wird um den Faktor $6464$ vergrößert.

1. Zug:

Linke Baumseite: Da 3 der 50 Lose ein Gewinn sind, ist die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu ziehen ${\displaystyle \frac{3}{50}}\backslash dfrac\{3\}\{50\}$.

Rechte Baumseite: Die Wahrscheinlichkeit keinen Gewinn zu ziehen ist also ${\displaystyle \frac{50-3}{50}}={\displaystyle \frac{47}{50}}\backslash dfrac\{50-3\}\{50\}=\backslash dfrac\{47\}\{50\}$.

2. Zug:

Jetzt sind nur noch 49 Lose in dem Behälter. Davon sind 2 Gewinne.

Linke Baumseite: Da im ersten Zug bereits ein Gewinn gezogen wurde, ist die Wahrscheinlichkeit jetzt wieder einen Gewinn zu ziehen ${\displaystyle \frac{2}{49}}\backslash dfrac\{2\}\{49\}$.

Rechte Baumseite: Die Wahrscheinlichkeit keinen Gewinn zu ziehen ist also ${\displaystyle \frac{49-2}{49}}={\displaystyle \frac{47}{49}}\mathrm{.}\backslash dfrac\{49-2\}\{49\}=\backslash dfrac\{47\}\{49\}.$

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{BC}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{AC}\mathrm{\mid }}}\backslash sin\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{BC\}|\}\{|\backslash overline\{AC\}|\}$