Teil 2, Stochastik I - lernen mit Serlo!

Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic" (B) und "Highspeed" (H) wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen ( $R$ ) oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen $(\bar{R})$ . Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren (S), einen Techniker hiermit beauftragen ( $T$ ) oder sogar einen Komplettservice (K) wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.

Erfahrungsgemäß nehmen $60 \%$ der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich $80 \%$ der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed"-Tarif und Router möchten $40 \%$ den Komplettservice.

Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
[ Teilergebnis: $\mathrm{P}(\{(\mathrm{H} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K})\})=0{,}128$ ]
(5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Baum anlegen
Lies den Text aufmerksam durch und schaue dir die Beispielergebnisse in dieser und der nächsten Teilaufgabe an, um herauszufinden, welche Kombinationen es gibt:
Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ergänzen
Ergänzt du alle Wahrscheinlichkeiten, die im Text gegeben sind, sieht das Baumdiagramm so aus:
Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten kannst du sofort ausrechnen: Alle Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ergeben in Summe 1 (Im Baum blau markiert).
Die Wahrscheinlichkeiten der 8 Elementarereignisse (grün markiert) berechnest du dann mithilfe der 1. Pfadregel:
Beispielrechnung:
$P({(B;R;S)})=0{,}6\cdot0{,}8\cdot0{,}5=0{,}24$
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Entnehme dem Text und den Beispielergebnissen aus dieser und der nächsten Teilaufgabe die Struktur des Baumes
Lese aus dem Text die gegebenen Wahrscheinlichkeiten heraus
Verwende die Eigenschaften eines Baumdiagramms und die Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse zu bestimmen
Gegeben sind folgende Ereignisse:
$\mathrm{E}_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“
$\mathrm{E}_{2}=\{(\mathrm{B} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K}) ;(\mathrm{B} ; \overline{\mathrm{R}}) ;(\mathrm{H} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K}) ;(\mathrm{H} ; \overline{\mathrm{R}})\}$
$\mathrm{E}_{3}=\mathrm{E}_{1} \cap \mathrm{E}_{2}$
Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_{3}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right)$ .
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mengenlehre
$E_1$ in Mengenschreibweise
Liste alle Ereignisse auf, die der Beschreibung genügen. "Kein Komplettservice" übersetzt sich dabei zu "entweder Selbstinstallation oder Techniker":
$E_1=\{(B;R;S);(B;R;T);(B;\overline R);(H;R;S);(H;R;T);(H;\overline R)\}$
$E_3$ als Mengenschreibweise und in Worten
Die Schnittmenge umfasst alle Elemente, die sowohl in $E_1$ als auch in $E_2$ enthalten sind:
$E_3=\{(B;\overline R);(H;\overline{R})\}$
Das sind genau die beiden Elementarereignisse, bei denen der Kunde keinen Router bestellt.
Wahrscheinlichkeit von $E_3$
Addiere die beiden Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm:
$P(E_3)=P(\{(B;\overline R)\})+P(\{(H;\overline R)\})=0{,}12+0{,}08=0{,}2$
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Für die Mengenschreibweise: Wähle aus dem Baum alle Elementarereignisse aus, die der Beschreibung von $E_1$ genügen und gib sie in der Form wie $E_2$ an.
Für die Formulierung von $E_3:$ Bilde zuerst die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ in Mengenschreibweise und überlege anschließend, wie du sie beschreiben kannst.
Für die Wahrscheinlichkeit: Verwende die 2. Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der gesuchten Elementarereignisse aus dem letzten Schritt zu verrechnen.
Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router ( $R$ ) oder anderweitig organisierter Router). Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei $60 \%$ aller Kunden ohne Unterbrechungen (Ū) funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.
Es gilt weiterhin $\mathrm{P}(\mathrm{R})=0{,}8$ .
Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten $P_{R}(U)$ und $P_{\bar{R}}(U)$ , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten $P_{R}(U)$ und $P_{\bar{R}}(U)$ miteinander vergleichen.
(5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Vierfeldertafel
Lege eine Vierfeldertafel an. Die Werte, die du in der Angabe finden kannst, sind blau markiert:
$U$
$\overline U$
$R$
0,3
0,5
0,8
$\overline R$
0,1
0,1
0,2
0,4
0,6
1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Du kannst die nötigen Zahlen direkt aus der Vierfeldertafel entnehmen:
$P_R(U)=\frac{P(R\cap U)}{P(R)}=\frac{0{,}3}{0{,}8}=0{,}375$
und
$P_{\overline R}(U)=\frac{P(\overline R \cap U)}{P(\overline R)}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$
Interpretation im Sachkontext
$P_R(U)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen Router der Firma hat.
Analog beschreibt $P_{\overline R}(U)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen eigenen Router nutzt.
Aufgrund der vorhandenen Daten kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für Störungen bei Verwendung eines Routers des Internetanbieters geringer ist.
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Lege wie empfohlen eine Vierfeldertafel mit den Merkmalen Router der Firma (R) und Unterbrechung der Verbindung (U) an. Du findest drei Wahrscheinlichkeiten im Text
Suche die richtigen Werte aus der Vierfeldertafel, um die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel zu berechnen
Überlege zunächst, wofür die Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext stehen und interpretiere dann, was es bedeutet, wenn der eine Wert größer als der andere ist.

	$U$	$\overline U$
$R$	0,3	0,5	0,8
$\overline R$	0,1	0,1	0,2
	0,4	0,6	1

Baum anlegen

Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ergänzen

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E1E_1E1​ in Mengenschreibweise

E3E_3E3​ als Mengenschreibweise und in Worten

Wahrscheinlichkeit von E3E_3E3​

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Vierfeldertafel

Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Interpretation im Sachkontext

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$E_1$ in Mengenschreibweise

$E_3$ als Mengenschreibweise und in Worten

Wahrscheinlichkeit von $E_3$