Teil 1, Analysis - lernen mit Serlo!

Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f}=\R$ besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle $x=-2$ .

Skizzieren Sie mithilfe der oben genannten Eigenschaften von $f$ einen möglichen Graphen dieser Funktion und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ für $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow \infty$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Graph skizzieren
Da der Graph der ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verläuft er durch den Ursprung.
Markiere den Tiefpunkt bei $x=-2$ . Aufgrund der Symmetrie ist außerdem bei $x=2$ ein Hochpunkt.
Da der Grad der Funktion 3 ist, gibt es maximal zwei Extremstellen. Diese sind bei $x=2$ und $x=-2$ . Es gibt also keine weiteren als die oben beschriebenen.
möglicher Graph
Globalverlauf
Wenn du den Graph korrekt skizziert hast, kannst du den Globalverlauf jetzt direkt ablesen. Verwende zum Beispiel die Limes-Schreibweise:
und
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Du weißt keine y-Koordinaten
Beachte die Punktsymmetrie: Was lernt man daraus, dass bei $x=-2$ ein Tiefpunkt ist? Was haben alle Graphen einer punktsymmetrischen, ganzrationalen Funktion gemeinsam?
Ermittle aus deiner Skizze den Globalverlauf.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen $G_{f^{\prime}}$ der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ mit Worten. Geben Sie dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion $f^{\prime}$ , die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f^{\prime}}$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Der Graph $G_{f'}$ hat bei $x=-2$ und $x=2$ einfache Nullstellen (da $G_f$ dort Extremstellen hat).
Links von $x=-2$ und rechts von $x=2$ verläuft er unterhalb der x-Achse (da $G_f$ dort streng monoton fällt), sonst darüber.
Der Graph von $G_{f'}$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse (da $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist)
Der Extrempunkt von $G_{f'}$ ist ein Hochpunkt. Er liegt auf der y-Achse (aufgrund der Symmetrie von $G_{f'}$ bzw. weil $G_{f'}$ eine Parabel ist, liegt er mittig zwischen den Nullstellen)
Kurz gesagt: Der Graph der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x=-2$ und $x=2$ und dem Scheitelpunkt auf der y-Achse. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Vergiss keinen gefragten Aspekt!
Monotonie und Extrema:
Hat $G_f$ eine Extremstelle, so hat $G_{f'}$ dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Fällt $G_f$ in einem Intervall, so verläuft $G_{f'}$ in diesem Intervall unterhalb der x-Achse (gegenteilig für steigend)
Symmetrie: Ist $G_f$ achsensymmetrisch, so ist $G_{f'}$ punktsymmetrisch (und umgekehrt)
Der Extrempunkt von $G_{f'}$ liegt bei der Wendestelle von $G_f$ . Außerdem liegt er aufgrund der Symmetrie mittig zwischen den Extremstellen.

Du musst deine Angaben nicht erklären

Graph skizzieren

Globalverlauf

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?