Teil 1, Analysis

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f}=\R$ besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle $x=-2$ .
1. Skizzieren Sie mithilfe der oben genannten Eigenschaften von $f$ einen möglichen Graphen dieser Funktion und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte $f(x)$ für $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow \infty$ an. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
  Graph skizzieren
  Da der Graph der ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verläuft er durch den Ursprung.
  Markiere den Tiefpunkt bei $x=-2$ . Aufgrund der Symmetrie ist außerdem bei $x=2$ ein Hochpunkt.
  Da der Grad der Funktion 3 ist, gibt es maximal zwei Extremstellen. Diese sind bei $x=2$ und $x=-2$ . Es gibt also keine weiteren als die oben beschriebenen.
  möglicher Graph
  Globalverlauf
  Wenn du den Graph korrekt skizziert hast, kannst du den Globalverlauf jetzt direkt ablesen. Verwende zum Beispiel die Limes-Schreibweise:
  und
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  Du weißt keine y-Koordinaten
  Beachte die Punktsymmetrie: Was lernt man daraus, dass bei $x=-2$ ein Tiefpunkt ist? Was haben alle Graphen einer punktsymmetrischen, ganzrationalen Funktion gemeinsam?
  Ermittle aus deiner Skizze den Globalverlauf.
2. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen $G_{f^{\prime}}$ der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ mit Worten. Geben Sie dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion $f^{\prime}$ , die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f^{\prime}}$ an. (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
  Der Graph $G_{f'}$ hat bei $x=-2$ und $x=2$ einfache Nullstellen (da $G_f$ dort Extremstellen hat).
  Links von $x=-2$ und rechts von $x=2$ verläuft er unterhalb der x-Achse (da $G_f$ dort streng monoton fällt), sonst darüber.
  Der Graph von $G_{f'}$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse (da $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist)
  Der Extrempunkt von $G_{f'}$ ist ein Hochpunkt. Er liegt auf der y-Achse (aufgrund der Symmetrie von $G_{f'}$ bzw. weil $G_{f'}$ eine Parabel ist, liegt er mittig zwischen den Nullstellen)
  Kurz gesagt: Der Graph der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x=-2$ und $x=2$ und dem Scheitelpunkt auf der y-Achse. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
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  Vergiss keinen gefragten Aspekt!
  Monotonie und Extrema:
  Hat $G_f$ eine Extremstelle, so hat $G_{f'}$ dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
  Fällt $G_f$ in einem Intervall, so verläuft $G_{f'}$ in diesem Intervall unterhalb der x-Achse (gegenteilig für steigend)
  Symmetrie: Ist $G_f$ achsensymmetrisch, so ist $G_{f'}$ punktsymmetrisch (und umgekehrt)
  Der Extrempunkt von $G_{f'}$ liegt bei der Wendestelle von $G_f$ . Außerdem liegt er aufgrund der Symmetrie mittig zwischen den Extremstellen.
  
  Du musst deine Angaben nicht erklären

Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen. (6 BE)

$3 x^{4}-12 x^{2}=0$

$\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}-1}$

Gegeben ist die Funktion $\mathrm{g}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{e}^{0{,}25 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-0{,}25 \mathrm{x}}$ mit der Definitionsmenge $D_g=\R$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $\mathrm{G}_{\mathrm{g}}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion g zum Koordinatensystem und geben Sie $\int_{-2}^{2} g(x) d x$ an. (3 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle $x=0$ . (3 BE)

4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion $\mathrm{h}$ und der entsprechende Ausschnitt des Graphen einer Stammfunktion H von h dargestellt.
Entnehmen Sie der Abbildung den Wert der Differenz $\mathrm{H}(2)-\mathrm{H}(0)$ und interpretieren Sie diesen Wert bezüglich des Graphen von $\mathrm{h}$ geometrisch. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Aus dem Graphen von $G_H$ kannst du direkt ablesen:
$H(2)-H(0)=4-3=1$
Dieser Wert entspricht dem Flächeninhalt, den der Graph $G_h$ im Intervall $x\in[0;2]$ mit der x-Achse einschließt.
Die Werte von $H(2)$ und $H(0)$ kannst du der Grafik entnehmen.
Überlege dir, wann du die Funktionswerte einer Stammfunktion voneinander abziehst.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3x^4-12x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $3x^2$ aus
$\displaystyle 3x^2\left(x^2-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die 3. binomische Formel
$\displaystyle 3x^2\left(x+2\right)\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle e^{x^2}$	$=$	$\displaystyle e^{2x-1}$
	↓	Da die Basis (e) auf beiden Seiten gleich ist, kannst du die Exponenten vergleichen
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle -2x+1$
$\displaystyle x^2-2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Das ist die 2. binomische Formel
$\displaystyle \left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

Setze $-x$ ein
	↓
$\displaystyle g\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{0{,}25\cdot\left(-x\right)}-e^{-0{,}25\cdot\left(-x\right)}$
	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}25x}-e^{0{,}25x}$
	↓	Klammere $-1$ aus
	$=$	$\displaystyle -\left(-e^{-0{,}25x}+e^{0{,}25x}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(e^{0{,}25x}-e^{-0{,}25x}\right)$
	$=$	$\displaystyle -g\left(x\right)$

$\displaystyle g'(0)$	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(e^{0{,}25\cdot0}+e^{-0{,}25\cdot0}\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(e^0+e^0\right)$
	↓	Für jede Zahl gilt: $a^0=1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(1+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

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Globalverlauf

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Symmetrienachweis

bestimmtes Integral

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Steigung bestimmen

Fertige Tangente

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