Teil 1, Analysis - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion g zum Koordinatensystem und geben Sie $\int_{- 2}^{2} g (x) d x$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Symmetrienachweis
Setze $- x$ ein
↓
$g (- x)$ $=$ $e^{0,25 \cdot (- x)} - e^{- 0,25 \cdot (- x)}$
$=$ $e^{- 0,25 x} - e^{0,25 x}$
↓
Klammere $- 1$ aus
$=$ $- (- e^{- 0,25 x} + e^{0,25 x})$
$=$ $- (e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x})$
$=$ $- g (x)$
Der Graph $G_{g}$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
bestimmtes Integral
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Grenzen gleich weit vom Ursprung entfernt sind, hat das Integral den Wert 0.
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Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatensystem, wenn entweder $g (- x) = g (x)$ (Achsensymmetrie) oder $g (- x) = - g (x)$ (Punktsymmetrie) gilt. Setze also $- x$ ein und forme um.
Überlege dir, wie deine Erkenntnisse über die Symmetrie die Berechnung des bestimmten Integrals beeinflussen.
Ermitteln Sie die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle $x = 0$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Verwende zum Beispiel die Punkt-Steigungs-Form der linearen Funktion:
Verläuft eine Gerade mit der Steigung m durch den Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ , so kann die Gerade durch $y = m (x - x_{P}) + y_{P}$ angegeben werden.
Hier also:
$t (x) = g^{'} (0) \cdot (x - 0) + g (0)$
wobei $m = g^{'} (0)$ der Wert der Ableitung bei $x = 0$ ist und $g (0)$ der Funktionswert.
Da $G_{g}$ aufgrund der Punktsymmetrie durch den Ursprung verläuft, ist $g (0) = 0$
Steigung bestimmen
Verwende die Kettenregel, um $g (x) = e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x}$ abzuleiten:
$g^{'} (x) = 0,25 e^{0,25 x} - (- 0,25) e^{- 0,25 x} = 0,25 (e^{0,25 x} + e^{- 0,25 x})$
Setze $x = 0$ ein, um die Steigung an dieser Stelle zu erhalten:
$g^{'} (0)$ $=$ $0,25 (e^{0,25 \cdot 0} + e^{- 0,25 \cdot 0})$
$=$ $0,25 (e^{0} + e^{0})$
↓
Für jede Zahl gilt: $a^{0} = 1$
$=$ $0,25 (1 + 1)$
$=$ $0,5$
Fertige Tangente
Setze in $t (x) = g^{'} (0) \cdot (x - 0) + g (0)$ ein:
$t (x) = 0,5 \cdot (x - 0) + 0 = 0,5 x$
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Am elegantesten geht das Aufstellen der Tangente mit der Punkt-Steigungs-Form. In jedem Fall brauchst du:
Den Funktionswert bei $x = 0$
Die Steigung bei $x = 0$ , die du durch die Ableitung $g^{'}$ ermitteln kannst.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Setze $- x$ ein
	↓
$g (- x)$	$=$	$e^{0,25 \cdot (- x)} - e^{- 0,25 \cdot (- x)}$
	$=$	$e^{- 0,25 x} - e^{0,25 x}$
	↓	Klammere $- 1$ aus
	$=$	$- (- e^{- 0,25 x} + e^{0,25 x})$
	$=$	$- (e^{0,25 x} - e^{- 0,25 x})$
	$=$	$- g (x)$

$g^{'} (0)$	$=$	$0,25 (e^{0,25 \cdot 0} + e^{- 0,25 \cdot 0})$
	$=$	$0,25 (e^{0} + e^{0})$
	↓	Für jede Zahl gilt: $a^{0} = 1$
	$=$	$0,25 (1 + 1)$
	$=$	$0,5$

Symmetrienachweis

bestimmtes Integral

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Steigung bestimmen

Fertige Tangente

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