Teil 1, Analysis - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Funktion $\mathrm{g}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{e}^{0{,}25 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-0{,}25 \mathrm{x}}$ mit der Definitionsmenge $D_g=\R$ . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $\mathrm{G}_{\mathrm{g}}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion g zum Koordinatensystem und geben Sie $\int_{-2}^{2} g(x) d x$ an. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen

Symmetrienachweis

Setze $-x$ ein
	↓
$\displaystyle g\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{0{,}25\cdot\left(-x\right)}-e^{-0{,}25\cdot\left(-x\right)}$
	$=$	$\displaystyle e^{-0{,}25x}-e^{0{,}25x}$
	↓	Klammere $-1$ aus
	$=$	$\displaystyle -\left(-e^{-0{,}25x}+e^{0{,}25x}\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(e^{0{,}25x}-e^{-0{,}25x}\right)$
	$=$	$\displaystyle -g\left(x\right)$

Der Graph $G_g$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.

bestimmtes Integral

Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Grenzen gleich weit vom Ursprung entfernt sind, hat das Integral den Wert 0.

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Der Graph ist symmetrisch zum Koordinatensystem, wenn entweder $g(-x)=g(x)$ (Achsensymmetrie) oder $g(-x)=-g(x)$ (Punktsymmetrie) gilt. Setze also $-x$ ein und forme um.
Überlege dir, wie deine Erkenntnisse über die Symmetrie die Berechnung des bestimmten Integrals beeinflussen.

Ermitteln Sie die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion g an der Stelle $x=0$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Verwende zum Beispiel die Punkt-Steigungs-Form der linearen Funktion:

Verläuft eine Gerade mit der Steigung m durch den Punkt $P(x_P|y_P)$ , so kann die Gerade durch $y=m(x-x_P)+y_P$ angegeben werden.

Hier also:

$t(x)=g'(0)\cdot(x-0)+g(0)$

wobei $m=g'(0)$ der Wert der Ableitung bei $x=0$ ist und $g(0)$ der Funktionswert.

Da $G_g$ aufgrund der Punktsymmetrie durch den Ursprung verläuft, ist $g(0)=0$

Steigung bestimmen

Verwende die Kettenregel, um $g(x)=e^{0{,}25x}-e^{-0{,}25x}$ abzuleiten:

$g'(x)=0{,}25e^{0{,}25x}-(-0{,}25)e^{-0{,}25x}=0{,}25(e^{0{,}25x}+e^{-0{,}25x})$

Setze $x=0$ ein, um die Steigung an dieser Stelle zu erhalten:

$\displaystyle g'(0)$	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(e^{0{,}25\cdot0}+e^{-0{,}25\cdot0}\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(e^0+e^0\right)$
	↓	Für jede Zahl gilt: $a^0=1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}25\left(1+1\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Fertige Tangente

Setze in $t(x)=g'(0)\cdot (x-0)+g(0)$ ein:

$t(x)=0{,}5\cdot (x-0)+0=0{,}5x$

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Am elegantesten geht das Aufstellen der Tangente mit der Punkt-Steigungs-Form. In jedem Fall brauchst du:

Den Funktionswert bei $x=0$
Die Steigung bei $x=0$ , die du durch die Ableitung $g'$ ermitteln kannst.