Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten

Schritt 1

Zeichne eine Gerade durch den Punkt A

Schritt 2

Zeichne einen Kreis um A mit irgendeinem Radius r und markiere den Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden.

Schritt 3

Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+1=5 Schnittpunkte hast.

Schritt 4

Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt B.

Schritt 5

Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 1. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [AB] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 1:4 teilt.

Schritt 1

Zeichne eine Gerade durch den Punkt C

Schritt 2

Zeichne einen Kreis um C mit irgendeinem Radius r und makiere den Schnittpunk des Kreises mit der Gerade.

Schritt 3

Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+2=6 Schnittpunkte hast.

Schritt 4

Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt D.

Schritt 5

Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 4. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [CD] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 4:2 teilt.

Konstruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke  $\left[\mathrm A,\mathrm C\right]$ .

Konstruiere einen Kreis um $M$ mit Radius $\overline{\left[\mathrm A,\mathrm M\right]}$ .

Erhalte $B$ und $D$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechte.

Verbinde $A,B,C,D$ und erhalte das Quadrat $ABCD$.

Wir bezeichnen $M$ als den Schnittpunkt der Diagonalen. Wir wissen: Die Diagonalen eines Quadrates schneiden sich gegenseitig in der Mitte. D.h. wir bekommen $M$ als den Mittelpunkt der Strecke [$A,C$]. Wir können $M$ also berechnen, indem wir an den Punkt $A$ die Hälfte der Strecke $AC$ anhängen.

$\mathrm M=\mathrm A+\frac12\cdot(\mathrm C-\mathrm A)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\left[\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\4{,}5\end{pmatrix}$

Schritt 1

Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke $\lbrack\mathrm A,\mathrm B\rbrack$ wie im Artikel erklärt.

Schritt 2

Konstruiere die Mittelsenkrechten der Strecken $[A, C]$ und $[B, C]$ wie in Schritt 1.

Schritt 3

Erhalte $M$ als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Schritt 4

Erhalte den Umkreis als Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit Radius $\overline{[\mathrm{M},\mathrm{B}]}$.

Schritt 1

Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ wie im Artikel beschrieben.

Schritt 2

Wiederhole Schritt 1 für die Punkte $B,C$. Erhalte $V$ als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Schritt 3

Ziehe einen Kreis um $V$ mit Radius $\overline{\lbrack\mathrm{VW}\rbrack}$. Dies ist der Inkreis.

Schritt 1

Konstruiere das Lot durch $C$ auf die Strecke [$AB$] wie im Artikel beschrieben.

Schritt 2

Konstruiere die anderen Höhen wie in Schritt 1.

Schritt 1

Konstruiere die Seitenhalbierende der Strecke [$AB$] wie im Artikel beschrieben.

Schritt 2

Konstruiere die Seitenhalbierenden der Strecken [$BC$] und [$AC$] wie in Schritt 1.

Für x=3

Schritt 1

Konstruiere eine Senkrechte zur $x$-Achse durch den Punkt $(3|0)$. In der Zeichnung wird als eine Möglichkeit die Mittelsenkrechte der Strecke$[(0|0) (6|0)]$ konstruiert.

(Wie konstruiere ich eine Mittelsenkrechte?). $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_1}$ ist der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit dem Lot.

Schritt 2

Spiegle den Punkt $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_1}$ an der Strecke $\lbrack\mathrm{AC}\rbrack$ (Wie spiegle ich einen Punkt an einer Strecke?) und erhalte so $\textcolor{FF0000}{B}\textcolor{FF0000}{_1}$. Verbinde dann die Punkte.

Für x=-2

Wiederhole die Schritte 1 und 2.

Schritt 1

Ziehe einen Kreis um $C$ mit Radius $r=2{,}5$. Erhalte $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_3}$ und $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_4}$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden $g$.

Schritt 2

Lege eine Gerade durch die Strecke $\left[\mathrm{AC}\right]$. Spiegle $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_3}$ und $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_4}$ an der Gerade (Wie spiegle ich einen Punkt an einer Gerade/Strecke?) und erhalte so die Punkte $\textcolor{FF0000}{B}\textcolor{FF0000}{_3}$ und $\textcolor{FF0000}{B}\textcolor{FF0000}{_4}$.

Schritt 3

Zeichne die Drachenvierecke $AB_3CD_3$ und $AB_4CD_4$

Schritt 1

Konstruiere den Thaleskreis der Strecke $\left[\mathrm{AC}\right]$ .(Wie konstruiere ich den Thaleskreis einer Strecke?). Dort liegen alle Punkte, die mit $B$ und $C$ einen rechten Winkel aufspannen. Erhalte $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_5}$ und $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_6}$ als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden.

Schritt 2

Spiegle die Punkte $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_5}$ und $\textcolor{FF0000}{D}\textcolor{FF0000}{_6}$ an der Strecke $\left[\mathrm{AC}\right]$ wie in Teilaufgabe a) und erhalte so die Punkte $\textcolor{FF0000}{B}\textcolor{FF0000}{_5}$ und $\textcolor{FF0000}{B}\textcolor{FF0000}{_6}$ .

Schritt 3

Verbinde die jeweiligen Punkte

Bei einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich.

Konstruiere daher die Mittelsenkrechte der Strecke $\left[AC\right]$.

Der Schnittpunkt mit $g$ ist der Punkt $D_7$.

$B_7$ erhältst du durch Spiegeln von $D_7$ an der Geraden durch $A$ und $C$.

Konstruktion der Sehne $s$:

1. Konstruktion des Kreises K (schwarz) mit dem Radius $r= 4 \, cm$ und dem Mittelpunkt $M$.

2. Zirkel entsprechend der Strecke $7 cm$ einstellen.

3. Beliebig in den Umfang des Kreises K einstechen (hier: Punkt $E$) und Strecke $7 \, cm$ mit dem Zirkel abtragen (hier: größtenteils eingezeichnet).

4. Einen der Schnittpunkte vom Kreis K und dem Zirkelradius $7 \, cm$ als weiteren Punkt wählen und mit dem Einstichpunkt verbinden (hier wurde der Schnittpunkt rechts vom Einstichpunkt $E$ gewählt).

   $\Rightarrow\;$ Sehne s mit $7 \, cm$ (blau)

Einzeichnen der Gerade $g$, die mit $s$ einen Winkel $70^\circ$ einschließt.

1. An einem der beiden Punkte der vorher konstruierten Sehne, den Winkel $70^\circ$ abtragen.

2. Gerade $g$ (grün), die den Winkel $70^\circ$ einschließt, zeichnen.

3. Parallele der Gerade $g$ (ebenfalls grün), die durch den Kreismittelpunkt $M$ geht, einzeichnen.

1. Kreis $K_{2}$ (lila) mit dem Radius $5 \, cm$ um den Mittelpunkt $M$ des ersten Kreises K konstruieren.

2. Beliebig in einen Punkt (hier: $H$) auf dem Umfang des Kreises $K_{2}$ einstechen und einen Kreis $K_{3}$ mit $r = 4 \, cm$ (hier nur gestrichelt und in grau) konstruieren und $\overline{MH}=\;5\;cm$ einzeichen.

1. Schnittpunkte des Kreis $K_{3}$ mit dem Kreis K benennen (Hier: $K,L$).

2. Die Strecken $\overline{HK\;}bzw.\;\overline{HL}$ einzeichnen.

3. Zu jeder dieser beiden Punkten jeweils eine Parallele zu der Strecke $\overline{HM}$ konstruieren (Hier: jeweils grau).

4. Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Kreis K mit z.B. $G$ und $J$ benennen.

5. Diese Schnittpunkte mit jeweils $K$ bzw. $L$ verbinden.

   $\Rightarrow$ $\overline{KG\;}=5\,cm$ bzw.$\,\overline{LJ}=5\;cm\;$ sind somit die gesuchten Sekanten.

$S_{1,neu}(-1|4), S_{2,neu}​(-1|7), A_{neu}(-5|4), A_{neu}′(3∣4), U_{neu}​(-5|6), U'_{neu}​(3|6), T_{neu}​(-3|6), T'_{neu}​(1|6), O_{neu}(-2|7), O'_{neu}(0|7)$

Verschiebung um n Einheiten nach links: n von x-Koordinate subtrahieren

Verschiebung um n Einheiten nach rechts: n zur x-Koordinate addieren

Verschiebung um n Einheiten nach unten: n von y-Koordinate subtrahieren

Verschiebung um n Einheiten nach oben: n zur y-Koordinate addieren

$S_{1,neu_2}(14|-8),S_{2, neu_2}(14|-5),A_{neu_2}(10|-8),A'_{neu_2}(18|-8),U_{ne_u2}(10|-6),U'_{neu_2}(18|-6),T_{neu_2}(12|-6),T'_{neu_2}(16|-6),O_{neu_2}(13|-5),O'_{neu_2}(15|-5)$