Die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben

Dem Diagramm entnimmt man die erste Jahreszahl $1950$ mit $10$ Milliarden €.

$1955$ hat sich der Schuldenstand auf $21$ Milliarden € erhöht, also etwas mehr als verdoppelt.

Im weiteren Verlauf findet man dann das Jahr $1970$ mit $64$ Milliarden € und nach $5$ Jahren, also $1975$ einen Schuldenstand von $130$ Milliarden €, also etwas mehr als verdoppelt.

Verfahren zur Bestimmung einer Funktion

Eines der beiden Verfahren sollte genannt werden:

Parameterbestimmung oder Regression

Drei Schritte der Durchführung des Verfahrens

1. Parameterbestimmung:

• Auswahl des Funktionstyps

• Auswahl geeigneter Wertepaare

• Lösen des Gleichungssystems

2. Regression:

• Auswahl des Funktionstyps

• Eingabe aller Wertepaare in den Taschenrechner

• Bestimmung des Funktionsterms

Zeichnung des Graphen von $f$

Jährliche prozentuale Zunahme der Schulden

Es ist $f(x)=11\cdot e^{\mathrm{0,089}x}\Rightarrow e^{\mathrm{0,089}}\approx \mathrm{1,093}$.

Damit beträgt die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden etwa $\mathrm{9,3}\%$.

Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als $250$ Mrd. Euro pro Jahr ist

Die Funktion $f$ beschreibt ein exponentielles Wachstum.

Die erste Ableitung von $f$ erreicht ihr Maximum am rechten Rand des Definitionsbereiches. d.h. für $x=60$:

$f^{\prime }(60)=11\cdot \mathrm{0,089}\cdot e^{\mathrm{0,089}\cdot 60}\approx 204<250$

Somit gibt es keinen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als $250$ Mrd. Euro ist.

Das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen

Gegeben ist $g(x)=250\cdot e^{-\mathrm{0,25}x}-38$.

Es sind $250>0$ und $e^{-\mathrm{0,25}}<1$.

Dann beschreibt der Term $250\cdot e^{-\mathrm{0,25}}$ eine exponentielle Abnahme, weil die Basis kleiner als 1 ist und der Graph nicht gespiegelt ist. Die Funktion $g$ ist also monoton fallend.

Berechne $g(x)=0$:

Der GTR liefert die Lösung $x_1$ mit $x_1\approx \mathrm{7,535499033}$$\Rightarrow x_1\approx \mathrm{7,54}$.

$\Rightarrow 2005+\mathrm{7,54}\approx 2012$

Der Höchststand der Schulden besteht im Verlauf des Jahres $2012$.

Begründung, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres $2005+m$ mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen: $$1490+{\displaystyle {\int }_0^{m}g(x)dx}$$

Es ist $${\displaystyle {\int }_0^{m}g(x)dx}$$. Dabei gibt die Funktion $𝑔$ die Änderung des Schuldenstandes ab $2005$ in Milliarden € pro Jahr an. Mit diesem Integral lassen sich die seit Beginn des Jahres $2005$ im Zeitraum von $m$ Jahren insgesamt hinzugekommenen Schulden berechnen.

$1490$ Milliarden € ist der Schuldenstand zu Beginn des Jahres $2005$. Zusammen mit dem Integral erhält man die Schulden im Jahr $2005+m$.

Das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind

Berechne $$1490+{\displaystyle {\int }_0^{m}g(x)dx=0}$$:

Der GTR liefert als positive Lösung $m\approx \mathrm{65,526313...}$.

$m\approx \mathrm{65,5}\Rightarrow 2005+\mathrm{65,5}\approx 2070$

Im Verlauf des Jahres 2070 sind die Schulden vollständig abgebaut.

Zeitraum bestimmen

Der Quotient auf der linken Seite beschreibt den Anteil der momentanen Änderungsrate der Schulden im Jahr $m$ nach $2005$ an den Schulden im Jahr $2005+m$.

Damit sind die Lösungen der Gleichung die Zeitpunkte nach dem Jahr $2005$, zu denen dieser Anteil $5\%$ beträgt.

Für die Zeit zwischen den beiden Zeitpunkten beträgt die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als $5\%$ der Schulden.

Löse die Gleichung $${\displaystyle \frac{g(m)}{1490+{\displaystyle {\int }_0^{m}g(x)dx}}}=\mathrm{0,05}$$:

Der GTR liefert im betrachteten Zeitraum $0\le m\le 70$ die Lösung $m_1$ mit $m_1\approx \mathrm{2,57468358}$$\Rightarrow m_1\approx \mathrm{2,6}$.

Nun ist aber für $m<m_1$, also z.B. für $m=\mathrm{2,5}$ der Term $${\displaystyle \frac{g(\mathrm{2,5})}{1490+{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{2,5}}g(x)dx}}}\approx \mathrm{0,05152087}>\mathrm{0,05}$$

Demnach ist $2005+m_1$ der Anfang des gesuchten Zeitraums etwa das Jahr $2007$.

In Aufgabe e) wurde gezeigt, dass $g(\mathrm{7,54})\approx 0$ ist. Für $x>\mathrm{7,54}$ ist dann $g(x)<0$.

Somit kann auch der Quotient negativ werden.

Löse die Gleichung $${\displaystyle \frac{g(m)}{1490+{\displaystyle {\int }_0^{m}g(x)dx}}}=-\mathrm{0,05}$$:

Der GTR liefert im betrachteten Zeitraum $0\le m\le 70$ die Lösung $m_2$ mit $m_2\approx \mathrm{45,52751581}$.

Es ist also $m_2\approx \mathrm{45,5}$ und das Ende des gesuchten Zeitraums ist etwa 2050.

Der gesuchte Zeitraum beginnt im Jahr $2007$ und endet im Jahr $2050$.