Gib das Verhalten der Funktionswerte von $h$ an den Rändern von $D_h$ an

Gegeben: $D_h=]-2;+\infty [$

Linker Rand: $x=-2^{+}$ und $f(-2)=0$

$${\displaystyle \underset{x\to -2^{+}}{\lim }\ln (\underset{0}{\underbrace{f(x)}})=-\infty }$$

Rechter Rand:

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (\underset{\to 0}{\underbrace{f(x)}})=-\infty }$$ (Die $x$-Achse ist waagrechte Asymptote.)

Gib mithilfe der Abbildung die Nullstellen der Funktion $h$ an

$h(x)=0\iff f(x)=1$

Aus der Abbildung folgt: $f(0)=1$ und $f(2)=1$

Die Nullstellen der Funktion $h$ sind $x=0$ und $x=2$.

Begründe, dass der Graph der Funktion $h$ genau einen Extrempunkt hat und gib die Art sowie die x-Koordinate dieses Extrempunktes an

$h(x)=\ln (f(x))\Rightarrow h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\cdot f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$ (Beachte beim Ableiten die Kettenregel.)

Dabei ist $f(x)>0$ in $D_h$$\Rightarrow$ der Vorzeichenwechsel von $h^{\prime }(x)$ entspricht dem Vorzeichenwechsel von $f^{\prime }(x)$.

⁣$G_f$ besitzt den absoluten Hochpunkt $H(\mathrm{0,8}|f(\mathrm{0,8}))$ und ist im Intervall $[\mathrm{0,8};+\infty [$ streng monoton fallend, mit der $x$-Achse als waagrechte Asymptote.

Damit besitzt auch $G_h$ bei $x=\mathrm{0,8}$ einen Hochpunkt.