Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $k : x \to \frac{x + 1}{e^{x} - 1}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{k} = ℝ$ $∖ {0}$ . Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch sind. [4 BE]

Der Graph der Funktion $k$ hat eine senkrechte Asymptote.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Der Graph der Funktion $k$ hat eine senkrechte Asymptote
Die Aussage ist wahr.
$x = 0$ ist eine senkrechte Asymptote von $G_{k}$ .
$G_{k}$ hat eine Polstelle bei $x = 0$ , denn $N (x) = e^{x} - 1$ ist null für $x = 0 \Rightarrow N (0) = e^{0} - 1 = 1 - 1 = 0$ .
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$G_{k}$ hat eine Polstelle bei $x = 0$ . Was bedeutet das?
$x \to \infty \Rightarrow k (x) \to - 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
$x \to \infty \Rightarrow k (x) \to - 1$ ?
Berechne $\lim_{x \to \infty} \frac{\overset{\to \infty}{\overset{⏞}{x + 1}}}{\underset{\to \infty}{\underset{⏟}{\underset{\to \infty}{\underset{⏟}{e^{x}}} - 1}}} = 0 \neq - 1$
Die e-Funktion ( $e^{x}$ ) wächst für $x$ gegen unendlich schneller als jede Potenzfunktion ( $x^{n}$ ), deshalb erhält man den Grenzwert null.
Die Aussage ist also falsch.
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Berechne $\lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{e^{x} - 1}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Der Graph der Funktion k hat eine senkrechte Asymptote

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x→∞⇒k(x)→−1 ?

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Der Graph der Funktion $k$ hat eine senkrechte Asymptote

$x \to \infty \Rightarrow k (x) \to - 1$ ?