• Der Punkt B(-3|0|0) ist gegeben und kann direkt eingezeichnet werden.

• Da A auf der positiven $x_1$-Achse liegen soll und einen Abstand von 6 LE zu B haben soll, ist A(3|0|0).

• Da ABS gleichschenklig ist und S ebenfalls in der $x_1{x}_2$-Ebene liegen muss, mit einem Abstand von $4LE$, ist S(0|4|0) (auch S(0|-4|0) ist möglich).

• Durch D(3|0|4) wissen wir, dass das Rechteck eine Breite von 4 LE haben muss. Somit ist C(-3|0|4).

Für das Volumen einer Pyramide gilt:

$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Mit der rechteckigen Grundfläche also:

$V=\frac{1}{3}\cdot l\cdot b\cdot h$

In dieser Pyramide ist die Höhe die Strecke $\overline{OS}$, wobei O(0|0|0) der Ursprung ist. Die rechteckige Grundfläche ist durch $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ festgelegt.

Dadurch, dass alle relevanten Seitenlängen parallel zu den Koordinatenachsen sind, können die Werte direkt abgelesen werden:

$V=\frac{1}{3}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{OS}=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 4\cdot 4=32$ (VE)

Gleichseitiges Dreieck

Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre z.B. $\overline{AS}=\overline{AB}=6$ (LE).

Bestimme die Länge des Vektors $\overrightarrow{AS}$:

$|\overrightarrow{AS}|=\left|\left(\begin{array}{c}0-3\\ 4-0\\ 0-0\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2+0^2}=5$ (LE)

Somit sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang und es ist nicht gleichseitig.

Flächeninhalt

Die relevanten Angaben hast du bereits: Die Grundseite $\overline{AB}=6$ LE und $\overline{OS}=4$ LE.

Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks:

$A_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{OS}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$ (FE)

Allgemein erfüllt jeder Punkt Q, der zwischen A und S auf der Strecke $\overline{AS}$ liegt diese Bedingung. Mit einer Vektorkette kann man für $0<r<1$ die Ortsvektoren von Q bestimmen durch:

$\overrightarrow{Q}=\overrightarrow{A}+r\cdot \overrightarrow{AS}$

Für $r=\mathrm{0,5}$ ergibt sich zum Beispiel:

$\overrightarrow{Q}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{0,5}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1,5}\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

und somit Q(1,5|2|0)

Da der Gegenvektor von $\overrightarrow{SB}$ verwendet wird, geht man aus dem Dreieck heraus. Somit muss der Punkt außerhalb des Dreiecks liegen.

Alternativ:

Bestimme die Koordinaten von P:

$\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\mathrm{0,8}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{3,9}\\ \mathrm{5,2}\\ 0\end{array}\right)$

und somit P(3,9|5,2|0)

Der "Blick von oben" zeigt, dass der Punkt P in $x_1$-Richtung bereits außerhalb des Dreiecks liegt (größter $x_1$-Wert ist bei A der Wert 3) und ebenso in $x_2$-Richtung (größter $x_2$ -Wert ist bei S der Wert 4)