Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe Q5

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A, B, C$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2 𝑥_{1} + 𝑥_{2} + 2 𝑥_{3} = 6$ .

Es gilt: $𝐴 (1 ∣ 2 ∣ 1)$ und $𝐶 (- 3 ∣ - 6 ∣ 9)$ .

Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Die Kantenlänge des Würfels soll 12 betragen
Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-3\\-6\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-8\\8\end{pmatrix}$
$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{16+64+64}=\sqrt{144}=12$
Die Kantenlänge des Würfels beträgt $12\;\text{LE}$ .
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Berechne den Betrag des Vektors $\overrightarrow{AC}$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $𝐻$ liegen. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
Die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen
Die Spitze $S$ der oberen Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt von $\overline{AC}$ .
$\overrightarrow{OM_{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1-3\\2-6\\1+9\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2\\-4\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}$
Weiterhin kann der Normalenvektor der Ebene $H$ abgelesen werden:
$\vec n_H=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$
Sein Betrag ist $\left|\vec n_H\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$ .
Da die Kantenlänge des Würfels $12$ ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich $6$ .
Da der Betrag des Normalenvektors $3$ beträgt, muss er zweimal zum Vektor $\overrightarrow{OM_{AC}}$ addiert werden, um zur Pyramidenspitze $S$ zu gelangen ( $h=6=2\cdot \left|\vec n_H\right|$ ).
Dann folgt für den Vektor $\overrightarrow{OS}$ :
$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM_{AC}}+2\cdot \vec n_H=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+4\\-2+2\\5+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix}$
Der eine Eckpunkt $S$ des Oktaeders hat die Koordinaten $S (3 ∣ 0 ∣ 9)$ .
Ergänzung (nicht in der Aufgabenstellung gefordert):
Der andere Eckpunkt $S^{'}$ , der nicht in $H$ liegt, ist dann:
$\overrightarrow{OS'}=\overrightarrow{OM_{AC}}-2\cdot \vec n_H=\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-4\\-2-2\\5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\1\end{pmatrix}$
Der andere Eckpunkt des Oktaeders $S^{'}$ hat die Koordinaten $S^{'} (- 5 ∣ - 4 ∣ 1)$ .
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Bestimme den Mittelpunkt von $\overline{AC}$ $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OM_{AC}}$
Lies den Normalenvektor der Ebene $H$ ab und berechne seinen Betrag.
Da die Kantenlänge des Würfels $12$ ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich $6$ .
Überlege Dir, wie oft der Normalenvektor zum Vektor $\overrightarrow{OM_{AC}}$ addiert werden muss, um die Spitze $S$ der oberen Pyramide zu erreichen.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

Aufgabe Q5

Die Kantenlänge des Würfels soll 12 betragen

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Die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen

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