Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe A 1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g_{a}$ mit $g_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4|g_{\frac{1}{2}}(4))$ .

Geben Sie anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an
Eingezeichnetes Steigungsdreieck
$t: y=m\cdot x+b$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{16}{4}=4$ .
Also ist $t: y=4\cdot x-8$ .
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Es ist $t: y=m\cdot x+b$ .
Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u\in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$ schneidet. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$
Es ist $g_a(x)=ax^2 \;\Rightarrow\; g_a'(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u ∣ g_{a} (u))$ .
$\Rightarrow\; g_a'(u)=2au=m_T$
Weiterhin gilt für die Tangente:
$t: y=m_T\cdot x+b=2au\cdot x+b$
Setze die Koordinaten von $(u ∣ g_{a} (u))$ in $t: y=2au\cdot x+b$ ein:
$t: g_a(u)=2au\cdot u+b\;\Rightarrow\;b=g_a(u)-2au^2$
Mit $g_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann, dass $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ ist.
Damit erhält man für die Tangentengleichung $t$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ :
$t: y=2au\cdot x-au^2$
Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein:
$t: y=2au\cdot 0-au^2=-au^2=-g_a(u)$
Also ist: $S_{y} (0 ∣ - g_{a} (u))$
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Berechne die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $g_{a} (x)$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ .
Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe A 1

Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente ttt an

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Tangente an den Graphen von gag_aga​ im Punkt (u∣ga(u))(u|g_a(u))(u∣ga​(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0∣−ga(u))(0|-g_a(u))(0∣−ga​(u))

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Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an

Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$