Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe A 1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $ℝ$ definierte Funktion $g_{a}$ mit $g_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4 | g_{\frac{1}{2}} (4))$ .

Geben Sie anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an
Eingezeichnetes Steigungsdreieck
$t : y = m \cdot x + b$
Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{16}{4} = 4$ .
Also ist $t : y = 4 \cdot x - 8$ .
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Es ist $t : y = m \cdot x + b$ .
Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in ℝ$ die Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$ schneidet. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$
Es ist $g_{a} (x) = a x^{2} \Rightarrow g_{a}^{'} (x) = 2 a x$ und der Punkt ist $(u | g_{a} (u))$ .
$\Rightarrow g_{a}^{'} (u) = 2 a u = m_{T}$
Weiterhin gilt für die Tangente:
$t : y = m_{T} \cdot x + b = 2 a u \cdot x + b$
Setze die Koordinaten von $(u | g_{a} (u))$ in $t : y = 2 a u \cdot x + b$ ein:
$t : g_{a} (u) = 2 a u \cdot u + b \Rightarrow b = g_{a} (u) - 2 a u^{2}$
Mit $g_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann, dass $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ ist.
Damit erhält man für die Tangentengleichung $t$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ :
$t : y = 2 a u \cdot x - a u^{2}$
Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein:
$t : y = 2 a u \cdot 0 - a u^{2} = - a u^{2} = - g_{a} (u)$
Also ist: $S_{y} (0 | - g_{a} (u))$
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Berechne die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $g_{a} (x)$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ .
Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe A 1

Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente t an

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Tangente an den Graphen von ga im Punkt (u|ga(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0|−ga(u))

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Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an

Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$