Heft 1

Vergleiche auch $A=\mathrm{1,4}A=1\{,\}4$ und $B=\mathrm{1,32}B=1\{,\}32$ auf dem Zahlenstrahl.

Es gilt: $\mathrm{1,4}>\mathrm{1,32}1\{,\}4\; >\; 1\{,\}32$

Vergleiche auch $C=\mathrm{1,6}C=1\{,\}6$ und $D=\mathrm{1,06}D=1\{,\}06$ auf dem Zahlenstrahl.

Es gilt: $\mathrm{1,6}>\mathrm{1,06}1\{,\}6>1\{,\}06$

Flächeninhalt des 10-Euro-Scheines

Aufteilung des Flächeninhaltes: $40{\text{ cm}}^2=10\text{ cm}\cdot 40\text{ cm}40\backslash cm^2\; =\; 10\backslash cm\; \backslash cdot\; 40\backslash cm$

Der Schein hat nicht den Flächeninhalt von ca. $400{\text{ cm}}^{2}400\backslash cm^2$.

Berechnung der Schlafenszeit

Überschlagen der Werte: $88$ Stunden jeden Tag mal $365365$ Tage im Jahr ergeben: $8\cdot 365=29208\; \backslash cdot\; 365\; =\; 2920$.

Ein Jugendlicher schläft im Jahr nicht durchschnittlich $70007000$ Stunden.

Länge eines Schulbusses

Ein Schulbus ist nicht ungefähr 80 Meter lang, sondern deutlich kürzer.

Berechnung der Einzelwinkel

$360\mathrm{°}\cdot \mathrm{0,3}=108\mathrm{°}360°\backslash cdot\; 0\{,\}3\; =\; 108°$ --> Spanien

$360\mathrm{°}\cdot \mathrm{0,2}=72\mathrm{°}360°\; \backslash cdot\; 0\{,\}2\; =\; 72°$--> Italien

$360\mathrm{°}\cdot \mathrm{0,5}=180\mathrm{°}360°\; \backslash cdot\; 0\{,\}5\; =\; 180°$ --> Deutschland

Es liegen mehr als $2020$ Zahlen zwischen 3,4 und 3,6. Betrachte verschiedene Zahlenmengen, wie zum Beispiel die Reelen Zahlen.

Entfernung zwischen $AA$ und $BB$

Punkt $CC$

Bewegt man sich jetzt zum Beispiel von $AA$ aus $33$ nach links und $22$ nach unten (bzw. von $BB$ aus $33$ nach rechts und $22$ nach oben), kommt man an einem Punkt an, der genau zwischen $AA$ und $BB$ liegt:

Der Punkt $CC$ hat also die Koordinaten $(1\mathrm{\mid }-1)(1|-1)$.

Volumen des Würfels

Da bei einem Würfel alle Kanten gleich lang sind, müssen bei diesem Würfel alle Kanten die Länge $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ haben. Er ist also $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ lang, breit und hoch.

Damit kann man jetzt das Volumen des Würfels berechnen:

${\text{Volumen}}_{\text{W}\ddot{\text{u}}\text{rfel}}=\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}=3\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}=27{\text{ cm}}^3\backslash text\{Volumen\}\_\backslash text\{Würfel\}\; =\; \backslash text\{Länge\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{Breite\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{Höhe\}\; =\; 3\; \backslash cm\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cm\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cm\; =\; 27\; \backslash cm^3$

Der Würfel hat also ein Volumen von $27{\text{ cm}}^{3}27\; \backslash cm^3$.

Volumen der Pyramide

Da der Würfel $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ hoch ist und Würfel und Pyramide übereinander $6\text{ cm}6\; \backslash cm$ hoch sind, muss die Pyramide eine Höhe von $6\text{ cm}-3\text{ cm}=3\text{ cm}6\; \backslash cm\; -\; 3\; \backslash cm\; =\; 3\; \backslash cm$ haben.

Die Kanten ihrer Grundfläche sind auch $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ lang, da sie so lang sind wie die Kanten des Würfels.

Die Grundfläche ist ein Quadrat, dessen Kanten alle $3\text{ cm}3\; \backslash cm$ lang sind.

$A_{\text{Grundfl}\ddot{\text{a}}\text{che}}=3\text{ cm}\cdot 3\text{ cm}=9{\text{ cm}}^{2}A\_\{\backslash text\{Grundfläche\}\}\; =\; 3\; \backslash cm\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cm\; =\; 9\; \backslash cm^2$

Jetzt kann man das Volumen der Pyramide berechnen:

$V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9{\text{ cm}}^2\cdot 3\text{ cm}=3{\text{ cm}}^2\cdot 3\text{ cm}=9{\text{ cm}}^{3}V\_\{\backslash text\{Pyramide\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; G\; \backslash cdot\; h\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; 9\; \backslash cm^2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cm\; =\; 3\; \backslash cm^2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cm\; =\; 9\; \backslash cm^3$

Die Pyramide hat also ein Volumen von $9{\text{ cm}}^{3}9\; \backslash cm^3$.

Volumen des Körpers

Jetzt addiert man nur noch das Volumen des Würfels mit dem Volumen der Pyramide, um das Volumen des Körpers zu berechnen:

$V_{\text{K}\ddot{\text{o}}\text{rper}}=27{\text{ cm}}^3+9{\text{ cm}}^3=36{\text{ cm}}^{3}V\_\{\backslash text\{Körper\}\}\; =\; 27\; \backslash cm^3\; +\; 9\; \backslash cm^3\; =\; 36\; \backslash cm^3$

Der Körper hat also ein Volumen von $36{\text{ cm}}^{3}36\; \backslash cm^3$.

Überprüfung auf direkte Proportionalität:

$3:\mathrm{1,8}\approx \mathrm{1,7}3:1\{,\}8\backslash approx1\{,\}7$

$4:\mathrm{2,5}=\mathrm{1,6}4:2\{,\}5=1\{,\}6$

$8:\mathrm{5,2}\approx \mathrm{1,5}8:5\{,\}2\backslash approx1\{,\}5$

Es liegt keine direkte Proportionalität vor.

Überprüfung auf Antiproportionalität:

$3\cdot \mathrm{1,8}=\mathrm{5,4}3\backslash cdot1\{,\}8=5\{,\}4$

$4\cdot \mathrm{2,5}=104\backslash cdot2\{,\}5=10$

$8\cdot \mathrm{5,2}=\mathrm{41,6}8\backslash cdot5\{,\}2=41\{,\}6$

Es liegt keine Antiproportionalität vor.

W: Prozentwert

G: Grundwert

p: Prozentsatz

$W=p\cdot GW=p\backslash cdot\; G$

$60=\mathrm{0,2}\cdot 30060=0\{,\}2\backslash cdot300$

Die Gleichung beschreibt wie man $2020$% von $300300$ berechnet.

$A=l\cdot bA=l\backslash cdot\; b$

$U=2l+2bU=2l+2b$

Gegenbeispiel zu Emils Behauptung

$l=16l=16$

$b=1b=1$

$A=16\cdot 1=16A=16\backslash cdot1=16$

$U=2\cdot 16+2\cdot 1=34U=2\backslash cdot16+2\backslash cdot1=34$

$1\text{ l}=1{\text{ dm}}^3=\mathrm{0,001}{\text{ m}}^{3}1\backslash l=1\backslash dm^3=0\{,\}001\backslash m^3$

$330\text{ l}=\mathrm{0,33}{\text{ m}}^{3}330\backslash l=0\{,\}33\backslash m^3$

$3300\text{ l}=\mathrm{3,3}{\text{ m}}^{3}3300\backslash l=3\{,\}3\backslash m^3$

$33000\text{ l}=33{\text{ m}}^{3}33000\backslash l=33\backslash m^3$

$\mathrm{3,3}{\text{ m}}^{3}3\{,\}3\backslash m^3$ entspricht am ehesten dem Volumen des Flaschencontainers.

Wenn in der Mitte nichts fehlt, sind es $6\cdot 6=6^{2}6\backslash cdot6\; =6^2$ Würfel.

In der Mitte fehlen aber $4\cdot 4=4^{2}4\backslash cdot4=4^2$ Würfel.

Also besteht das Würfelgebäude aus $6^2-4^{2}6^2-4^2$ Würfeln.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse immer die längste Seite.

Die gesuchte Seite ist aber eine Kathete. Sie kann deshalb nicht $\mathrm{10,4}\text{ cm}10\{,\}4\; \backslash cm$ und damit die längste Seite sein.