Teil A: Pflichtteil

Begründe, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von $𝑓$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Alternativ:

$f(-x)=(-x{)}^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)$

Aus $f(-x)=-f(x)$ folgt, dass der Graph von $𝑓$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt.

$0=x(x^2-4)\Rightarrow x_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm 2$

Im Intervall $[-2;0]$ ist $f(x)\ge 0$ und wegen der Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs gilt dann:

$$A=2\cdot {\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {[{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2]}_{-2}^0=2\cdot (0-(4-8))=8}$$

Der Inhalt dieser Fläche beträgt $8\text{FE}$.

Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ orthogonal zueinander sind

Berechne die beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ und ihr Skalarprodukt:

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=1\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot (-6)=6+6-12=0$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ ist gleich null. Sie sind orthogonal zueinander.

Gib die Koordinaten des Punktes $D$ an, der die Punkte $A,B$ und $C$ zu einem Rechteck $ABCD$ ergänzt

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OD}$:

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -1\end{array}\right)$

Also hat der Punkt $D$ die Koordinaten $D(8|7|-1)$.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$

$A_{ABCD}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|$

$A_{ABCD}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+3^2+(-6{)}^2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{81}=3\cdot 9=27$

Der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ beträgt $27\mathrm{FE}$.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, $18\%$ beträgt

Gegeben ist $p_{\text{grün}}=\mathrm{0,1}$ und $p_{\text{nicht grün}}=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$

$P(\text{„ genau einmal ein grüner Sektor “})=P(g\overline{g})+P(\overline{g}g)=2\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,18}$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, beträgt $18\%$.

Begründe, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen

Berechne den Erwartungswert:

Für den Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ : „Auszahlung bei einem Spiel“ gilt: $E(X)={\mathrm{0,9}}^2\cdot 0€+\mathrm{0,18}\cdot 10€+{\mathrm{0,1}}^2\cdot 20€=\mathrm{1,8}€+\mathrm{0,2}€=2€$

Der Erwartungswert der Auszahlung $2€$ bei diesem Spiel ist kleiner als der Einsatz $3€$ bei einem Spiel. Der Veranstalter kann daher erwarten, auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.