Teil A: Pflichtteil

Begründe, dass der Graph von $ff$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

Der Graph von $ff$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von $𝑓𝑓$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Alternativ:

$f(-x)=(-x{)}^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)f(-x)=\; (-x)^3\; -\; 4(-x)=-x^3+4x=-(x^3\; -\; 4x)=-f(x)$

Aus $f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)$ folgt, dass der Graph von $𝑓𝑓$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt.

$0=x(x^2-4)\Rightarrow x_1=00=x(x^2-4)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm 2x\_\{2\{,\}3\}=\backslash pm2$

Im Intervall $[-2;0][-2;0]$ ist $f(x)\ge 0f(x)\backslash geq0$ und wegen der Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs gilt dann:

$A=2\cdot {\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {[\frac{1}{4}{x}^4-2x^2]}_{-2}^0=2\cdot (0-(4-8))=8}A=2\backslash cdot\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^0f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=2\backslash cdot\backslash left[\backslash dfrac\{1\}\{4\}x^4-2x^2\backslash right]\_\{-2\}^0=2\backslash cdot(0-(4-8))=8$

Der Inhalt dieser Fläche beträgt $8\text{FE}8\backslash ;\; \backslash text\{FE\}$.

Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{BA}\backslash overrightarrow\{B\; A\}$ und $\overrightarrow{BC}\backslash overrightarrow\{B\; C\}$ orthogonal zueinander sind

Berechne die beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}\backslash overrightarrow\{B\; A\}$ und $\overrightarrow{BC}\backslash overrightarrow\{B\; C\}$ und ihr Skalarprodukt:

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{B\; A\}=\backslash overrightarrow\{O\; A\}-\backslash overrightarrow\{OB\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{B\; C\}=\backslash overrightarrow\{O\; C\}-\backslash overrightarrow\{OB\}=\backslash begin\{pmatrix\}7\backslash \backslash 5\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 3\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}$

$\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=1\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot (-6)=6+6-12=0\backslash overrightarrow\{B\; A\}\backslash circ\; \backslash overrightarrow\{BC\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 3\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}=1\backslash cdot\; 6+2\backslash cdot\; 3+2\backslash cdot(-6)=6+6-12=0$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{BA}\backslash overrightarrow\{B\; A\}$ und $\overrightarrow{BC}\backslash overrightarrow\{B\; C\}$ ist gleich null. Sie sind orthogonal zueinander.

Gib die Koordinaten des Punktes $DD$ an, der die Punkte $A,BA,\; B$ und $CC$ zu einem Rechteck $ABCDABCD$ ergänzt

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OD}\backslash overrightarrow\{OD\}$:

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{OD\}=\backslash overrightarrow\{O\; A\}+\backslash overrightarrow\{B\; C\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 3\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}8\backslash \backslash 7\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

Also hat der Punkt $DD$ die Koordinaten $D(8\mathrm{\mid }7\mathrm{\mid }-1)D(8|7|-1)$.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks $ABCDABCD$

$A_{ABCD}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BA}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }A\_\{A\; B\; C\; D\}=|\backslash overrightarrow\{B\; A\}|\; \backslash cdot|\backslash overrightarrow\{B\; C\}|$

$A_{ABCD}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+3^2+(-6{)}^2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{81}=3\cdot 9=27A\_\{A\; B\; C\; D\}=\backslash sqrt\{1^\{2\}+2^\{2\}+2^\{2\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{6^\{2\}+3^\{2\}+(-6)^\{2\}\}=\backslash sqrt\{9\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{81\}=3\; \backslash cdot\; 9=27$

Der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCDABCD$ beträgt $27\mathrm{F}\mathrm{E}27\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, $18\mathrm{\%}18\backslash ;\backslash \%$ beträgt

Gegeben ist $p_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=\mathrm{0,1}p\_\{\backslash text\{grün\}\}=0\{,\}1$ und $p_{\text{nicht gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}p\_\{\backslash text\{nicht\; grün\}\}=1-0\{,\}1=0\{,\}9$

$P(\text{„ genau einmal ein gr}\ddot{\text{u}}\text{ner Sektor “})=P(g\bar{g})+P(\bar{g}g)=2\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,18}P(\backslash text\{„\; genau\; einmal\; ein\; grüner\; Sektor\; “\})=P(g\backslash overline\{g\})+P(\backslash overline\{g\}g)=2\; \backslash cdot\; 0\{,\}1\; \backslash cdot\; 0\{,\}9=0\{,\}18$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, beträgt $18\mathrm{\%}18\backslash ;\backslash \%$.

Begründe, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen

Berechne den Erwartungswert:

Für den Erwartungswert $E(X)E(X)$ der Zufallsgröße $XX$ : „Auszahlung bei einem Spiel“ gilt: $E(X)={\mathrm{0,9}}^2\cdot 0\text{€}+\mathrm{0,18}\cdot 10\text{€}+{\mathrm{0,1}}^2\cdot 20\text{€}=\mathrm{1,8}\text{€}+\mathrm{0,2}\text{€}=2\text{€}E(X)\; =0\{,\}9^\{2\}\; \backslash cdot\; 0\; \backslash ;€+0\{,\}18\; \backslash cdot\; 10\backslash ;\; €+0\{,\}1^\{2\}\; \backslash cdot\; 20\; \backslash ;€\; =1\{,\}8\backslash ;\; €+0\{,\}2\backslash ;\; €=2\; \backslash ;€$

Der Erwartungswert der Auszahlung $2\text{€}2\backslash ;€$ bei diesem Spiel ist kleiner als der Einsatz $3\text{€}3\; \backslash ;€$ bei einem Spiel. Der Veranstalter kann daher erwarten, auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.