Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{3}{1000} x^{4} - \frac{8}{100} x^{3} + \frac{6}{10} x^{2}$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P (0 | - \frac{5}{8})$ .

Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0 | 0)$ .
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für GTR.
$f^{'} (x)$ besitzt für $x = 0$ und für $x = 10$ eine Nullstelle.
Betrachte den Graphen.
Für CAS.
Da $x = 0$ als Extremstelle bekannt ist, wird nur $x = 10$ geprüft.
Berechne $f^{'} (9)$ und $f^{'} (11)$ . Liegt ein Vorzeichenwechsel vor?
Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q (- \frac{1}{4} | - 1)$ wird mit $t$ bezeichnet.
Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$ und weisen Sie rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ ist.
$[$ Zur Kontrolle: $t : y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{8}$ . $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermittle eine Gleichung von $t$
Aus $P (0 | - \frac{5}{8})$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b = - \frac{5}{8}$ .
Setze in $y = m \cdot x + b = m \cdot x - \frac{5}{8}$ die Koordinaten von $Q$ ein:
$- 1 = m \cdot (- \frac{1}{4}) - \frac{5}{8} \Rightarrow - \frac{3}{8} = m \cdot (- \frac{1}{4}) \Rightarrow m = \frac{3}{2}$
Damit erhält man:
$t : y = \frac{3}{2} x - \frac{5}{8}$
Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ ist
$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ , wenn:
$f (5) = t (5)$
$f^{'} (5) = m_{t}$
Berechne: $f (5) = 6,875$ und $t (5) = 6,875 \Rightarrow f (5) = t (5) ✓$
$f^{'} (5) = 1,5$ und $m_{t} = \frac{3}{2} = 1,5 \Rightarrow f^{'} (5) = m_{t} ✓$
Beide Bedingungen sind erfüllt:
$\Rightarrow t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Aus $P$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b$ .
Setze in $y = m \cdot x + b$ die Koordinaten von $Q$ ein.
Teil 2
$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ , wenn $f (5) = t (5)$ und $f^{'} (5) = m_{t}$ .
Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für GTR.
Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\Rightarrow$ relevante Schnittstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne den Flächeninhalt: $A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (t (x) - f (x)) d x$
Für CAS.
Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\Rightarrow$ $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$
Berechne den Flächeninhalt: $A = \int_{x_{1}}^{x_{3}} (t (x) - f (x)) d x$
Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben
Mögliche Lösung 1:
Abbildung 1 mit zwei Tangenten
Mögliche Lösung 2:
Abbildung 1 mit zwei Tangenten
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeichne von $P$ ausgehend zwei Tangenten an den Graphen von $f$ .
Der Graph der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ entsteht durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ . Der Punkt $(12 | 12)$ des Graphen von $g$ entsteht dabei aus dem Punkt $(10 | 10)$ des Graphen von $f$ und für alle $x \in ℝ$ gilt
$g (x) = a \cdot f (b \cdot x) mit a, b > 0.$
Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an
Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor $\frac{1}{b}$ in x-Richtung gestreckt.
$\underset{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}{\underset{⏟}{f \overset{\overset{}{\cdot a}}{\to} a \cdot f}} \underset{Streckung in x-Richt.mit Faktor \frac{1}{b}}{\underset{⏟}{\overset{\overset{}{f (b \cdot x)}}{\to} a \cdot f (b \cdot x)}} = g (x)$
Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$
Der Punkt $(12 | 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 | 10)$ des
Graphen von $f$ erzeugt:
$\Rightarrow g (12) = a \cdot f (10) \Rightarrow 12 = a \cdot 10 \Rightarrow a = \frac{6}{5}$
Weiterhin folgt: $12 = \frac{1}{b} \cdot 10 \Rightarrow b = \frac{5}{6}$
Die Werte von $𝑎$ und $b$ sind $a = \frac{6}{5}$ und $b = \frac{5}{6}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Es handelt sich einmal um eine Streckung in y-Richtung und um eine Streckung in x-Richtung.
Teil 2
Der Punkt $(12 | 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 | 10)$ des Graphen von $f$ erzeugt. Stelle zwei Gleichungen zur Berechnung von $a$ und $b$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle eine Gleichung von t

Weise rechnerisch nach, dass t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (5|f(5)) ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Skizziere in Abbildung 1 zwei von t verschiedene Tangenten an den Graphen von f, die die y-Achse im Punkt P schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von a und b an

Berechne die Werte von 𝑎 und 𝑏

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle eine Gleichung von $t$

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 | f (5))$ ist

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$