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Aufgabe 1

Gegeben ist die in definierte Funktion f mit f(x)=31000x48100x3+610x2.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von f sowie den Punkt P(0|58).

Abbildung 1

Abbildung 1

  1. Der Graph von f besitzt den Tiefpunkt (0|0).

    Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f keine weiteren Extrempunkte besitzt. (3 P)

  2. Die Gerade durch die Punkte P und Q(14|1) wird mit t bezeichnet.

    Ermitteln Sie eine Gleichung von t und weisen Sie rechnerisch nach, dass t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (5|f(5)) ist.

    [Zur Kontrolle: t:y=32x58.] (4 P)

  3. Der Graph von f und die Tangente t schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.

    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 P)

  4. Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von t verschiedene Tangenten an den Graphen von f, die die y-Achse im Punkt P schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben. (3 P)

  5. Der Graph der in definierten Funktion g entsteht durch Transformationen aus dem Graphen von f. Der Punkt (12|12) des Graphen von g entsteht dabei aus dem Punkt (10|10) des Graphen von f und für alle x gilt

    g(x)=af(bx) mit a,b>0.

    Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von a und b an und berechnen Sie die Werte von a und b. (4 P)