Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000} x^{4}-\frac{8}{100} x^{3}+\frac{6}{10} x^{2}$ .

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right)$ .

Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ .
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
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Für GTR.
$f^{'} (x)$ besitzt für $x = 0$ und für $x = 10$ eine Nullstelle.
Betrachte den Graphen.
Für CAS.
Da $x = 0$ als Extremstelle bekannt ist, wird nur $x = 10$ geprüft.
Berechne $f^{'} (9)$ und $f^{'} (11)$ . Liegt ein Vorzeichenwechsel vor?
Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q\left(\left.-\frac{1}{4} \right\rvert\,-1\right)$ wird mit $t$ bezeichnet.
Ermitteln Sie eine Gleichung von $t$ und weisen Sie rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist.
$[$ Zur Kontrolle: $t: y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$ . $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermittle eine Gleichung von $t$
Aus $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right)$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b=-\frac{5}{8}$ .
Setze in $y=m \cdot x+b= m \cdot x-\frac{5}{8}$ die Koordinaten von $Q$ ein:
$-1=m \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{5}{8}\;\Rightarrow\;-\dfrac{3}{8}=m \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)\;\Rightarrow\;m=\dfrac{3}{2}$
Damit erhält man:
$\displaystyle t: y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$
Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist
$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ , wenn:
$f (5) = t (5)$
$f^{'} (5) = m_{t}$
Berechne: $f (5) = 6,875$ und $t(5)=6{,}875 \;\Rightarrow\;f(5)=t(5)\;\checkmark$
$f^{'} (5) = 1,5$ und $m_t=\dfrac{3}{2}=1{,}5\;\Rightarrow\;f'(5)=m_t\;\checkmark$
Beide Bedingungen sind erfüllt:
$\Rightarrow\;t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ .
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Teil 1
Aus $P$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b$ .
Setze in $y=m \cdot x+b$ die Koordinaten von $Q$ ein.
Teil 2
$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ , wenn $f (5) = t (5)$ und $f^{'} (5) = m_{t}$ .
Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
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Für GTR.
Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\;\Rightarrow\;$ relevante Schnittstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne den Flächeninhalt: $A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}(t(x)-f(x))\;\mathrm{d}x$
Für CAS.
Für die Integrationsgrenzen berechne $f (x) = t (x)$ $\;\Rightarrow\;$ $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$
Berechne den Flächeninhalt: $A=\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}(t(x)-f(x))\;\mathrm{d}x$
Skizzieren Sie in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben
Mögliche Lösung 1:
Abbildung 1 mit zwei Tangenten
Mögliche Lösung 2:
Abbildung 1 mit zwei Tangenten
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Zeichne von $P$ ausgehend zwei Tangenten an den Graphen von $f$ .
Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ entsteht durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ . Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ entsteht dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des Graphen von $f$ und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt
$\displaystyle g(x)=a \cdot f(b \cdot x) \text { mit } a, b>0.$
Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an
Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor $\dfrac{1}{b}$ in x-Richtung gestreckt.
$\underbrace{f\xrightarrow{\cdot a}a\cdot f}_\text{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}\;\;\;\;\underbrace{\xrightarrow{f(b\cdot x)}a\cdot f(b\cdot x)}_{\text{Streckung in x-Richt.mit Faktor\;}\frac{1}{b}}=g(x)$
Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$
Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des
Graphen von $f$ erzeugt:
$\Rightarrow\; g(12)=a\cdot f(10)\;\Rightarrow\;12=a\cdot 10\;\Rightarrow\;a=\dfrac{6}{5}$
Weiterhin folgt: $12=\dfrac{1}{b}\cdot 10\;\Rightarrow\;b=\dfrac{5}{6}$
Die Werte von $𝑎$ und $b$ sind $a=\dfrac{6}{5}$ und $b=\dfrac{5}{6}$ .
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Teil 1
Es handelt sich einmal um eine Streckung in y-Richtung und um eine Streckung in x-Richtung.
Teil 2
Der Punkt $(12 ∣ 12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10 ∣ 10)$ des Graphen von $f$ erzeugt. Stelle zwei Gleichungen zur Berechnung von $a$ und $b$ auf.

Aufgabe 1

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Ermittle eine Gleichung von ttt

Weise rechnerisch nach, dass ttt die Tangente an den Graphen von fff im Punkt (5∣f(5))(5|f(5))(5∣f(5)) ist

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Skizziere in Abbildung 1 zwei von ttt verschiedene Tangenten an den Graphen von fff, die die yyy-Achse im Punkt PPP schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

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Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von aaa und bbb an

Berechne die Werte von 𝑎𝑎a und 𝑏𝑏b

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Ermittle eine Gleichung von $t$

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 ∣ f (5))$ ist

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f$ , die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$