Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind die Funktionen $ff$ und $gg$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5f(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^\{3\}-3\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5g(x)=-3\; \backslash cdot\; x+5$.

Setze $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$ und löse die Gleichung.

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot (x^2-6x+9)=0\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash cdot(x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0\backslash Rightarrow\backslash ;x=0\; \backslash lor\; x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3x^2-6x+9=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(x-3)^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0x=0$ oder $x=3x=3$.

Zeige: Der Graph von $gg$ ist die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $PP$

Gegeben sind $P(3\mid f(3))P(3\; \backslash mid\; f(3))$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5f(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^\{3\}-3\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5g(x)=-3\; \backslash cdot\; x+5$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x^2-6\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; x^2-6\backslash cdot\; x+\backslash dfrac\{3\}\{2\}$

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 3^2-6\cdot 3+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}-18+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3=m_{g}f\text{'}(3)=\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; 3^2-6\backslash cdot\; 3+\backslash dfrac\{3\}\{2\}=\backslash dfrac\{27\}\{2\}-18+\backslash dfrac\{3\}\{2\}=-3=m\_g$

Der Graph von $gg$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $PP$ haben diese Gerade und der Graph von $ff$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $gg$ die Tangente an den Graphen von $ff$ im Schnittpunkt $PP$.