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Teil A: Ohne Hilfsmittel

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  1. 1
    Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

    Aufgabe 1

    Eine Funktion gg ist gegeben durch die Gleichung

    g(x)=13x3−12x2−6x+5,x∈Rg(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-6 x+5, \quad x \in \mathbb{R}.

    1. Geben Sie eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von gg an. (1 P)

    2. Berechnen Sie die Extremstellen von gg und die Art der Extremstellen. (4 P)

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    Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

    Aufgabe 2

    Gegeben sind die Funktionen ff und gg mit den Gleichungen

    f(x)=(x−3)⋅ex,x∈R,g(x)=x−3,x∈R.\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f(x)=(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}, \quad x \in \mathbb{R}, \\& g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R} .\end{aligned}

    Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen ff und gg.

    zwei Graphen

    1. Geben Sie die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen ff und gg an. (1 P)

    2. Zeigen Sie: D(x)=(4−x)⋅ex+0,5⋅x2−3⋅xD(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x ist eine Stammfunktion der Funktion dd mit d(x)=g(x)−f(x)=(x−3)−(x−3)⋅exd(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}. (2 P)

    3. Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen ff und gg eingeschlossen wird. (2 P)

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    Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x2f(x)=x^{2}.

    1. Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl mm mit m<0m<0, für die der Graph von ff und die Gerade mit der Gleichung y=m⋅xy=m \cdot x eine Fläche mit dem Inhalt 3636 einschließen.

      (1 P + 3 P + 1 P)

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    Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Gerade g:x⃗=(21−1)+r⋅(11−2),r∈R\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), r \in \mathbb{R} und die Ebene E:x⃗=(014)+s⋅(423)+t⋅(201),s,t∈R\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad s, t \in \mathbb{R}.

    1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes DD der Geraden gg mit der Ebene EE. (5 P)

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    Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

    Aufgabe 5

    Gegeben sind die Punkte A(0∣0∣0),B(8∣6∣0)A(0|0| 0), B(8|6| 0) und C(4∣3∣z)C(4|3| z), wobei zz eine positive reelle Zahl ist.

    1. Zeigen Sie, dass es sich beim Dreieck ABCABC um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB‾\overline{A B} handelt. (2 P)

    2. Das Dreieck ABCA B C hat den Flächeninhalt 3535. Bestimmen Sie den Wert von zz. (3 P)


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