A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_{k}$ mit

$f_{k} (x) = x^{4} + (2 - k) \cdot x^{3} - k \cdot x^{2} mit k \in ℝ$ .

Begründen Sie, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist
Es ist $f_{2} (x) = x^{4} + (2 - 2) \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{2} = x^{4} - 2 x^{2}$ .
Der Funktionsterm von $f_{2}$ enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_{2}$ ist symmetrisch zur y-Achse
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Notiere $f_{2} (x)$ und schau Dir die Exponenten an.
Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
Berechnen Sie diesen Wert von $k$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne diesen Wert von $k$
Gegeben ist $f_{k} (x) = x^{4} + (2 - k) \cdot x^{3} - k \cdot x^{2}$ .
Berechne die 1. und 2. Ableitung:
$f_{k}^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 \cdot (2 - k) \cdot x^{2} - 2 k x$
$f_{k}^{''} (x) = 12 x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot (2 - k) \cdot x - 2 k$
Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
Demnach muss $f_{k}^{''} (1) = 0$ sein.
$\Rightarrow f_{k}^{''} (1) = 12 + 6 \cdot (2 - k) - 2 k = 0 \Rightarrow 24 - 6 k - 2 k = 0 \Rightarrow 24 - 8 k = 0$
$\Rightarrow k = 3$
Der Wert von $k$ ist gleich $3$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $f_{k} (x)$ .
Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $k$ , für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_{k}$ ist.
Demnach muss $f_{k}^{''} (1) = 0$ sein.
Löse die Gleichung nach $k$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Begründe, dass der Graph von f2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne diesen Wert von k

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass der Graph von $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Berechne diesen Wert von $k$