B4

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Firma „Schraubenwind“ stellt Schrauben und Muttern für den Bau von Windkraftanlagen her. Wegen der extremen Belastung werden besondere Anforderungen an diese Verbindungselemente gestellt. Eine hochwertige Schraube zeichnet sich durch die Qualität des Schraubenkörpers und die Qualität der anschließenden Beschichtung aus. Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind.
1. Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97 %$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1,5 %$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5 %$ eine fehlerhafte Beschichtung.
  Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar
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  Übertrage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube ist fehlerfrei. (1 P)
  $E_{2}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube weist eine fehlerhafte Beschichtung auf.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube ist fehlerfrei
  "Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind."
  Berechne also $P(E_1)= P(K+\cap B+)=0{,}97\cdot 0{,}985=0{,}95545$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schraube fehlerfrei ist, beträgt $95{,}545\;\%.$
  $E_{2}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube weist eine fehlerhafte Beschichtung auf
  Berechne: $P(E_2)=P(K+\cap B-)+P(K-\cap B-)=0{,}97\cdot 0{,}015+0{,}03\cdot 0{,}05=0{,}01455+0{,}0015=0{,}01605$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schraube eine fehlerhafte Beschichtung hat, beträgt $1{,}605\;\%$ .
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  Teil 1
  Berechne $P(E_1)= P(K+\cap B+)$ .
  Teil 2
  Berechne $P(E_2)=P(K+\cap B-)+P(K-\cap B-)$
3. Die Beschichtung einer zufällig ausgewählten Schraube ist fehlerhaft.
  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist
  Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit:
  $P_{B-}(K-)=\dfrac{P(K-\cap B-)}{P(B-)}=\dfrac{0{,}03\cdot 0{,}05}{0{,}97\cdot 0{,}015+0{,}03\cdot 0{,}05}\approx0{,}09346$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist, beträgt rund $9{,}346\;\%$ .
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  Berechne $P_{B-}(K-)=\dfrac{P(K-\cap B-)}{P(B-)}$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4,5 %$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0,045$ ist.
1. In einer Untersuchung werden $500$ Schrauben zufällig der Produktion entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal $20$ Schrauben fehlerhaft sind. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind
  Die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion ist binomialverteilt mit $p = 0,045$ und $n = 500$ .
  Berechne $P(X\leq 20)=\text{binomCdf}(500, 0.045, 20)\approx0{,}343$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind, beträgt rund $34{,}3\;\%$ .
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  Berechne $P(X\leq 20)$ .
2. Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreimal-Mindestens-Aufgaben
  Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind
  Mit $\overline{p}=1-0{,}045=0{,}955$ gilt:
  Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n ; 0{,}955}(X \geq 200) \geq 0{,}95$ .
  Der TR liefert $P_{214 ; 0{,}955}(X \geq 200)=\text{binomCdf}(214, 0.955, 200{,}214) \approx 0{,}9388$ und $P_{215 ; 0{,}955}(X \geq 200)=\text{binomCdf}(215, 0.955, 200{,}215) \approx 0{,}9652$ .
  Es müssen also mindestens $215$ Schrauben kontrolliert werden.
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  Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n ; 0{,}955}(X \geq 200) \geq 0{,}95$ .
  Probiere mehrere Werte für $n$ aus.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben.
„Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.
1. Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Ermittele, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt
  Für "fehlerfrei" ist $p=0{,}955\;\Rightarrow\;\mu=5000=n\cdot 0{,}955\;\Rightarrow\;n=\dfrac{5000}{0{,}955}\approx5235{,}6$
  Es müssen also mindestens $5236$ Schrauben produziert werden, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben mindestens $5000$ beträgt.
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  Für "fehlerfrei" ist $p=0{,}955\;\Rightarrow\;\mu=5000=n\cdot 0{,}955$ .
  Löse nach $n$ auf.
2. Es werden $5236$ Schrauben produziert.
  Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht
  Berechne $P_{5236 ; 0{,}955}(X \geq 5000)=\text{binomCdf}(5236, 0.955, 5000{,}5236) \approx 0{,}5274$ .
  Wenn $5236$ Schrauben produziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht, rund $52{,}74\;\%$ .
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  Berechne $P_{5236 ; 0{,}955}(X \geq 5000)$ .
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
„Wind 24“ beschwert sich bei „Schraubenwind“. Die Qualität der gelieferten Schrauben habe stark nachgelassen: Ca. $8 %$ der gelieferten Schrauben seien fehlerhaft. Da „Wind 24“ der wichtigste Kunde von „Schraubenwind“ ist, werden $200$ Schrauben zufällig der laufenden Produktion entnommen und auf ihre Qualität hin untersucht. Die Firmenleitung will die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweisen, falls neun oder weniger Schrauben unter den $200$ untersuchten Schrauben fehlerhaft sind.
1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, falls der Produktionsprozess eine Fehlerquote von $8 %$ aufweist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, falls der Produktionsprozess eine Fehlerquote von $8 %$ aufweist
  Es ist $p = 0,08$ und $n = 200$ .
  Der TR liefert $P_{200 ; 0{,}08}(X \leq 9)=\text{binomCdf}(200, 0.08, 0{,}9) \approx 0{,}03737$ .
  Falls die Fehlerquote bei $8 %$ liegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, ca. $3{,}737\;\%$ .
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  Es ist $p = 0,08$ und $n = 200$ .
  Berechne $P_{200 ; 0{,}08}(X \leq 9)$ .
2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 %$ aufweist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 %$ aufweist
  Der TR liefert $P_{200 ; 0{,}045}(X \geq 10)=\text{binomCdf}(200, 0.045, 10{,}200) \approx 0{,}4126$ .
  Falls die Fehlerquote nach wie vor nur $4,5 %$ beträgt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, bei ca. $41{,}26\;\%$ .
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  Berechne $P_{200 ; 0{,}045}(X \geq 10)$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B4

Aufgabe 1

Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

E1E_{1}E1​ : Eine zufällig ausgewählte Schraube ist fehlerfrei

E2E_{2}E2​ : Eine zufällig ausgewählte Schraube weist eine fehlerhafte Beschichtung auf

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist

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Aufgabe 2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind

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Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 %95\;\%95% mindestens 200200200 dieser Schrauben fehlerfrei sind

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Aufgabe 3

Ermittele, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens 500050005000 beträgt

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Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht

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Aufgabe 4

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, falls der Produktionsprozess eine Fehlerquote von 8 %8\;\%8% aufweist

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Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von 4,5 %4{,}5\;\%4,5% aufweist

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$E_{1}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube ist fehlerfrei

$E_{2}$ : Eine zufällig ausgewählte Schraube weist eine fehlerhafte Beschichtung auf

Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind

Ermittele, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, falls der Produktionsprozess eine Fehlerquote von $8 %$ aufweist

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 %$ aufweist