B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4,5 %$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0,045$ ist.

In einer Untersuchung werden $500$ Schrauben zufällig der Produktion entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal $20$ Schrauben fehlerhaft sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind
Die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion ist binomialverteilt mit $p = 0,045$ und $n = 500$ .
Berechne $P(X\leq 20)=\text{binomCdf}(500, 0.045, 20)\approx0{,}343$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind, beträgt rund $34{,}3\;\%$ .
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Berechne $P(X\leq 20)$ .
Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreimal-Mindestens-Aufgaben
Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind
Mit $\overline{p}=1-0{,}045=0{,}955$ gilt:
Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n ; 0{,}955}(X \geq 200) \geq 0{,}95$ .
Der TR liefert $P_{214 ; 0{,}955}(X \geq 200)=\text{binomCdf}(214, 0.955, 200{,}214) \approx 0{,}9388$ und $P_{215 ; 0{,}955}(X \geq 200)=\text{binomCdf}(215, 0.955, 200{,}215) \approx 0{,}9652$ .
Es müssen also mindestens $215$ Schrauben kontrolliert werden.
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Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n ; 0{,}955}(X \geq 200) \geq 0{,}95$ .
Probiere mehrere Werte für $n$ aus.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben maximal 20 Schrauben fehlerhaft sind

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Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 %95\;\%95% mindestens 200200200 dieser Schrauben fehlerfrei sind

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Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind