B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

$t_{a}$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ . Eine Gleichung für $t_{a}$ ist $y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .

Weiterhin ist $h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht.

Ermitteln Sie eine Gleichung für $l_{a}$ . (4 P)

$\left[\right.$ Mögliche Lösung: $\left.y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10} \cdot x+\dfrac{200-(a+2) \mathrm{e}^{2 a+4}}{10 \cdot \mathrm{e}^{a+2}}\right]$

$[$ Hinweis: Ohne Nachweis kannst du den folgenden Sachverhalt nutzen:

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn für ihre Steigungen gilt: $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ . $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$

Gegeben ist der Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ und die Gleichung der Tangente $t_a: y=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2} \cdot x+10(a+4) \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ $\;\Rightarrow\;m_{t_{a}}=-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$ .

Berechne zunächst $h_{a}(a+2)=10 \cdot(a+2-a) \cdot \mathrm{e}^{-(a+2)}$ .

$h_{a}(a+2)=20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}$

Die Gerade $l_{a}$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_{a}\left(a+2 \mid h_{a}(a+2)\right)$ senkrecht auf der Tangente $t_{a}$ steht $\;\Rightarrow\;m_{l_{a}}\cdot m_{t_{a}}=-1\;\Rightarrow\;m_{l_{a}}=-\dfrac{1}{m_{t_{a}}}=-\dfrac{1}{-10 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}}$ .

Somit ist $m_{l_{a}}=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}$ .

Dann folgt für die Normalengleichung: $l_a:y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+b$ .

Setze $W_{a}\left(a+2 \mid 20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}\right)$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf:

$20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot (a+2)+b\;\Rightarrow\;b=20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$

$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 20 \cdot \mathrm{e}^{-a-2}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{20}{\mathrm{e}^{a+2}}-\dfrac{(a+2)\cdot\mathrm{e}^{a+2}}{10}$
	↓	Bringe auf den Hauptnenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$

Die Normalengleichung lautet also: $l_a:y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$

(Siehe mögliche Lösung.)

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$N_{a}$ ist der Schnittpunkt des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse.
Ermitteln Sie den Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft
Gegeben ist $h_{a}(x)=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ und $l_a: y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$ .
Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\;\Rightarrow h_{a}(x)=0$ .
$0=10 \cdot(x-a) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x-a=0\;\Rightarrow\;x=a\;\Rightarrow\;N_a(a\mid 0)$
Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
Setze $N_a(a\mid 0)$ in $l_a: y=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot x+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$ ein und löse mit CAS:
$\Rightarrow\;0=\dfrac{\mathrm{e}^{a+2}}{10}\cdot a+\dfrac{200-(a+2)\cdot\mathrm{e}^{2a+4}}{10\cdot \mathrm{e}^{a+2} }$
Es ist $a=\ln\left(\dfrac{10}{e^2}\right)=\ln(10)-\ln(e^2)=\ln(10)-2\approx0{,}3026$ .
Der Wert von $a$ , für den die Gerade $l_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft, ist $a=\ln(10)-2\approx0{,}3026$
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Berechne den Schnittpunkt $N_{a}$ des Graphen von $h_{a}$ mit der $x$ -Achse $\;\Rightarrow h_{a}(x)=0\;\Rightarrow\;N_a(x_1\mid 0)$ .
Die Gerade $l_{a}$ soll durch $N_{a}$ verlaufen.
Setze $N_{a}$ in $l_{a}$ ein und löse mit CAS.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Ermittle eine Gleichung für lal_{a}la​

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Ermittle den Wert von aaa, für den die Gerade IaI_{a}Ia​ durch NaN_{a}Na​ verläuft

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Ermittle eine Gleichung für $l_{a}$

Ermittle den Wert von $a$ , für den die Gerade $I_{a}$ durch $N_{a}$ verläuft