B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{5}{16} x^{4} + 5 x^{3}$ .

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 | 0)$ parallel zur $x$ -Achse verläuft. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist
Gegeben ist $f (x) = - \frac{5}{16} x^{4} + 5 x^{3}$ .
Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ :
$f^{'} (x) = - \frac{5}{4} x^{3} + 15 x^{2}$
$f^{''} (x) = - \frac{15}{4} x^{2} + 30 x$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = - \frac{5}{4} x^{3} + 15 x^{2} = 5 x^{2} \cdot (- \frac{1}{4} x + 3)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x = 0 \lor - \frac{1}{4} x + 3 = 0 \Rightarrow x = 12$
Lokale Extremstellen sind $x = 0$ oder $x = 12$ .
Nach Aufgabenstellung muss nur $x = 12$ beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
$\Rightarrow f^{''} (12) = - \frac{15}{4} \cdot 12^{2} + 30 \cdot 12 = - 180 < 0 \Rightarrow$ Maximum
Berechne $f (12) = - \frac{5}{16} \cdot 12^{4} + 5 \cdot 12^{3} = 2160$ .
Der Punkt $(12 | 2160)$ ist also ein Hochpunkt des Graphen von $f$ .
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Teil 1
Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
Nach Aufgabenstellung muss nur $x = 12$ untersucht werden.
Teil 2
Es ist $f^{'} (0) = 0$ und $f (0) = 0$ . Was folgt daraus?
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft.
Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat. (6 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{''} (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = - \frac{15}{4} x^{2} + 30 x = 15 \cdot x (- \frac{1}{4} \cdot x + 2)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x = 0 \lor - \frac{1}{4} x + 2 = 0 \Rightarrow x = 8$
Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{'''} (x) \neq 0$ erfüllt ist.
Berechne $f^{'''} (x) = - \frac{15}{2} x + 30 \Rightarrow f^{''} (0) = 30 \neq 0$ und $f^{'''} (8) = - \frac{15}{2} \cdot 8 + 30 = - 30 \neq 0$
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor.
Berechne $f (0) = 0$ und $f (8) = - \frac{5}{16} \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{3} = 1280$ .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W P_{1} (0 | 0)$ und $W P_{2} (8 | 1280)$ .
Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
$y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1} \Rightarrow y = \frac{1280 - 0}{8 - 0} \cdot (x - 0) + 0$
$\Rightarrow g : y = 160 \cdot x$
Die Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, lautet $y = 160 \cdot x$ .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat
Die zu $g$ parallele Gerade hat für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam.
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Teil 1
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{''} (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Die hinreichende Bedingung ist $f^{'''} (x) \neq 0$ .
Berechne $f (x_{1})$ und $f (x_{2})$ $\Rightarrow W P_{1} (x_{1} | f (x_{1}))$ und $W P_{2} (x_{2} | f (x_{2}))$ .
Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung: $y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
Teil 2
Zeichne die zu $g$ parallele Gerade, die für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat, in die Abbildung ein.
Die Punkte $O (0 | 0), B (b | 0)$ und $C (b | f (b))$ bilden für jede reelle Zahl $b$ mit $0 < b < 16$ ein Dreieck $O B C$ .
Ermitteln Sie denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.
$[$ Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich. $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Ermittle denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an
Abbildung mit einem eingezeichneten Dreieck $O B C$ :
Abbildung mit Dreieck
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$\Rightarrow A (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (- \frac{5}{16} \cdot b^{4} + 5 \cdot b^{3}) = - \frac{5}{32} \cdot b^{5} + \frac{5}{2} \cdot b^{4}$
Bestimme das absolute Maximum von $A (b)$ mit dem CAS-Rechner im Intervall $[0; 16]$ .
Das Maximum hat die gerundeten Koordinaten $(12,8 | 13421,77)$ .
Für $b = 12,8$ hat das Dreieck $O B C$ den maximalen Flächeninhalt von rund $13421,77 FE$ .
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Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \Rightarrow A (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot f (b)$ .
Bestimme das absolute Maximum von $A (b)$ mit dem CAS-Rechner im Intervall $[0; 16]$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Zeige rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist

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Bestimme eine Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0≤x≤8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat

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Ermittle denjenigen Wert von b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks OBC maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an

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Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 | 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist

Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Ermittle denjenigen Wert von $b$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $O B C$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an