Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Die Gerade $g$ hat die Funktionsgleichung $y = - x - 3$ .
Sie schneidet die $x$ -Achse im Punkt $A$ und die $y$ -Achse im Punkt $B$ . Bestimme die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ .
Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel $p$ . Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p$ und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes $S$ .
Die beiden Punkte $P (x_{P} | 12)$ und $Q (x_{Q} | 12)$ liegen auf der Parabel $p$ . Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt $S$ das Dreieck $P S Q$ . Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $P S Q$ .
[5 Pkte]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Koordinaten bestimmen
Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen durch Einsetzen von $y = 0$
$y$ $=$ $- x - 3$
↓
Einsetzen von $y = 0$
$0$ $=$ $- x - 3$ $+ x$
$x$ $=$ $- 3$
Punkt $A$ hat die Koordinate $A (- 3 | 0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen durch Einsetzen von $x = 0$
$y$ $=$ $- x - 3$
↓
Einsetzen von $x = 0$
$y$ $=$ $- 0 - 3$
$y$ $=$ $- 3$
Punkt $B$ hat die Koordinate $B (0 | - 3)$ .
Funktionsgleichung und Scheitelpunkt
Die verschobene Normalparabel hat die Form $y = x^{2} + a x + c$
Einsetzen der Koordinaten des Punkts $B (0 | - 3)$
$\begin{array}{l} - 3 = 0^{2} + a \cdot 0 + c \\ - 3 = c \end{array}$
Einsetzen der Koordinate des Punkts $A (- 3 | 0)$
$0$ $=$ $(- 3)^{2} + a \cdot (- 3) - 3$
$0$ $=$ $9 - 3 a - 3$
$0$ $=$ $6 - 3 a$ $+ 3 a$
$3 a$ $=$ $6$ $: 3$
$a$ $=$ $2$
Die Funktionsgleichung lautet somit
$y = x^{2} + 2 x - 3$
Umformen der Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform
$\begin{array}{l} y = x^{2} + 2 x - 3 \\ y = x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 \\ y = {(x + 1)}^{2} - 4 \end{array}$
Daraus lässt sich der Scheitelpunkt $S (- 1 | - 4)$ ablesen.
Flächeninhalt des Dreiecks
Anhand der Skizze kann man die Länge der Grundseite $g = 8$ und die Höhe $h = 16$ des Dreiecks ablesen.
Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks berechnet sich mit der Formel
$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16$
$A = 64$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Abbildung zeigt den Achsenschnitt eines zusammengesetzten Körpers und den Parallelschnitt einer quadratischen Pyramide.
Der zusammengesetzte Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel.
Es gilt:
$\begin{aligned} s & = 14,4 c m \\ δ & = {42,0}^{\circ} \\ h_{ges} & = h_{Pyr} \end{aligned}$
Der Durchmesser $d$ des zusammengesetzten Körpers ist genauso lang wie die Grundkante $a$ der quadratischen Pyramide.
Berechne die Differenz der Oberflächeninhalte der beiden Körper.
[5 Pkte]

1. Schritt: Radius $r$ berechnen
$\sin \frac{δ}{2}$ $=$ $\frac{r}{s}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$\sin 21^{\circ}$ $=$ $\frac{r}{14,4}$ $\cdot 14,4$
$\sin 21^{\circ} \cdot 14,4$ $=$ $r$
$5,16$ $=$ $r$
2. Schritt: $h_{K e g e l}$ berechnen
$\tan \frac{δ}{2}$ $=$ $\frac{r}{h_{K e g e l}}$
↓
bekannte Werte einsetzen
$\tan 21^{\circ}$ $=$ $\frac{5,16}{h_{K e g e l}}$ $\cdot h_{K e g e l}$
$\tan 21^{\circ} \cdot h_{K e g e l}$ $=$ $5,16$ $: \tan 21^{\circ}$
$h_{K e g e l}$ $=$ $\frac{5,16}{\tan 21^{\circ}}$
$h_{K e g e l}$ $=$ $13,44$
3. Schritt: $h_{P y r}$ berechnen
$\begin{array}{l} h_{P y r} = h_{K e g e l} + r \\ h_{P y r} = 13,44 + 5,16 \\ h_{P y r} = 18,6 \end{array}$
4. Schritt: Höhe $h_{S}$ der Seitenfläche der Pyramide berechnen
${(h_{S})}^{2}$ $=$ ${(h_{P y r})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
↓
bekannte Werte einsetzen
${(h_{S})}^{2}$ $=$ ${18,6}^{2} + {5,16}^{2}$ $\sqrt{}$
$h_{S}$ $=$ $\sqrt{{18,6}^{2} + {5,16}^{2}}$
$h_{S}$ $=$ $19,3$
5. Schritt: Differenz der Oberflächeninhalte berechnen
Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers $O_{z g s}$ wird gebildet aus der halben Oberfläche der Kugel $O_{K u g e l}$ und der Mantelfläche des Kegels $M_{K e g e l}$ .
Oberfläche einer Kugel
$O_{K u g e l} = 4 \cdot π \cdot r^{2}$
Mantelfläche eines Kegels
$M_{K e g e l} = π \cdot r \cdot s$
Oberfläche des zusammengesetzten Körpers $O_{z g s}$
$O_{z g s}$ $=$ $\frac{O_{K u g e l}}{2} + M_{K e g e l}$
$O_{z g s}$ $=$ $\frac{4 \cdot π \cdot r^{2}}{2} + π \cdot r \cdot s$
↓
Werte einsetzen
$O_{z g s}$ $=$ $\frac{4 \cdot π \cdot {5,16}^{2}}{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$ $=$ $2 \cdot π \cdot {5,16}^{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$ $=$ $401$
Oberfläche der Pyramide $O_{P y r}$
$O_{P y r}$ $=$ $Grundfläche + Mantelfläche$
$O_{P y r}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{S}$
↓
Werte einsetzen, beachte $a = 2 \cdot r$
$O_{P y r}$ $=$ ${(2 \cdot 5,16)}^{2} + 2 \cdot (2 \cdot 5,16) \cdot 19,3$
$O_{P y r}$ $=$ $505$
Differenz der Oberflächen
$O_{P y r} - O_{z g s} = 505 - 401 = 104$
Die Differenz der Oberflächen beträgt $104 {cm}^{2}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$- x - 3$
	↓	Einsetzen von $y = 0$
$0$	$=$	$- x - 3$	$+ x$
$x$	$=$	$- 3$

$y$	$=$	$- x - 3$
	↓	Einsetzen von $x = 0$
$y$	$=$	$- 0 - 3$
$y$	$=$	$- 3$

$0$	$=$	$(- 3)^{2} + a \cdot (- 3) - 3$
$0$	$=$	$9 - 3 a - 3$
$0$	$=$	$6 - 3 a$	$+ 3 a$
$3 a$	$=$	$6$	$: 3$
$a$	$=$	$2$

$\sin \frac{δ}{2}$	$=$	$\frac{r}{s}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$\sin 21^{\circ}$	$=$	$\frac{r}{14,4}$	$\cdot 14,4$
$\sin 21^{\circ} \cdot 14,4$	$=$	$r$
$5,16$	$=$	$r$

$\tan \frac{δ}{2}$	$=$	$\frac{r}{h_{K e g e l}}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
$\tan 21^{\circ}$	$=$	$\frac{5,16}{h_{K e g e l}}$	$\cdot h_{K e g e l}$
$\tan 21^{\circ} \cdot h_{K e g e l}$	$=$	$5,16$	$: \tan 21^{\circ}$
$h_{K e g e l}$	$=$	$\frac{5,16}{\tan 21^{\circ}}$
$h_{K e g e l}$	$=$	$13,44$

${(h_{S})}^{2}$	$=$	${(h_{P y r})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
${(h_{S})}^{2}$	$=$	${18,6}^{2} + {5,16}^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{S}$	$=$	$\sqrt{{18,6}^{2} + {5,16}^{2}}$
$h_{S}$	$=$	$19,3$

$O_{z g s}$	$=$	$\frac{O_{K u g e l}}{2} + M_{K e g e l}$
$O_{z g s}$	$=$	$\frac{4 \cdot π \cdot r^{2}}{2} + π \cdot r \cdot s$
	↓	Werte einsetzen
$O_{z g s}$	$=$	$\frac{4 \cdot π \cdot {5,16}^{2}}{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$	$=$	$2 \cdot π \cdot {5,16}^{2} + π \cdot 5,16 \cdot 14,4$
$O_{z g s}$	$=$	$401$

$O_{P y r}$	$=$	$Grundfläche + Mantelfläche$
$O_{P y r}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot h_{S}$
	↓	Werte einsetzen, beachte $a = 2 \cdot r$
$O_{P y r}$	$=$	${(2 \cdot 5,16)}^{2} + 2 \cdot (2 \cdot 5,16) \cdot 19,3$
$O_{P y r}$	$=$	$505$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?